2次関数で求める正方形内の四角形における面積最小値
2次関数の問題についての疑問です。
１辺の長さがaの正方形ABCDにおいて, 辺AB, BC, CD, DA 上にそれぞれ点P, Q, R, Sを
AP = BQ = CR = DS
となるようにとる. このとき, 四角形PQRSの面積の最小値を求めよ.
という問題が参考書にあります。解答には
AP = BQ = CR = DS = ax
とおくと, xは
0 < x < 1 ・・・(1)
を変化する変数である.
とあり、三角形APSの面積は
1/2AP・AS = 1/2ax(a-ax) = a^2/2x(1-x)
と求めています。四角形の面積は、正方形からそれら三角形の面積を取り除いて求め、
答えは, 値をyとおき
y = a^2 - a^2/x(1-x)・4 = a^2{1-2x(1-x)}
= a^2(2x^2-2x+1) = a^2{ 2(x-1/2)^2 + 1/2 } ・・・(2)
(1), (2)より求める最小値は, a^2/2
となっています。
以下私の疑問です。
私は AP = BQ = CR = DS = ax ではなく、
AP = BQ = CR = DS = x ・・・ i
として問題を解きました。このとき、式は
y = a^2 -1/2x(a-x) * 4 = a^2 -2xa + 2x^2
= 2(x - a/2)^2 + a^2/2 ・・・ii
となり、やはり最小値は a^2/2 となります。
私の解いた方法では間違いでしょうか。
気になるのは、参考書の解説では最小値のときの値が、x = 1/2 と文字がまざらず、私の方法では最小値 a^2/2 のとき x = a/2 と文字が混ざってしまいます。
それに加え、参考書の答えと比較し, ではaは１なのかとおもい、私の式iiにa = 1を代入して解いてみたのですが、何か具合がよろしくありません。
私のやっていることおかしいでしょうか。
また、問題を解いていて思ったのですが、a = a^2 となる数字は１しか存在しませんか。
最初から1を代入するのではなく、aやa/2を代入して、解いてからグラフ上でa = 1を代入すると上手くいくように思えるのですが、これはいったいどういうことなんでしょう。
独学なもので、身近にだれも聞ける人がおりません。
どなたか、よろしくお願いいたします。
お礼
なるほど！ax+byを、書き換えた形ですね。＾０＾分かってすごくうれしいです、ありがとうございました。