物理の問題がわかりません

質問

物理の問題がわかりません。

（１）理想気体の内部エネルギーUが絶対温度Ｔだけに依存することに注意して、U(T)は？
ただし、定積比熱Cvを使え

(2)断熱過程に対して、圧力Ｐと体積Vの間の関係式は？。ただし、Cp/Cv = γとする。

解説と回答をよろしくお願いします

回答No.1

JOUNIN

(1)nCvT(ただし理想気体の物質量をnと置いた)
(2)PV^γ=一定

(1)は基本記憶事項ですが、求められるようになっておくのも重要です
気体分子運動論を扱っているサイトもしくは参考書をご覧になるとよいでしょう

(2)は基本記憶事項とまではいいませんが覚えておくにこしたことはありません
問題で与えられることもありますが、与えられないこともあります
これも出来れば導出できるようになっておくとよいでしょう
こちらは以下でその導出を説明いたします

ピストンに圧力P、体積V、物質量n、絶対温度Tの理想気体を封入することを考える
このとき
PV=nRT…(1)
が成り立つ(理想気体の状態方程式の導出も気体分子運動論を参考にしてください)

この状態からピストンを微小距離ゆっくりと動かし断熱変化させる
圧力の増分をΔP、体積の増分をΔV、温度の増分をΔTとすると
(P+ΔP)(V+ΔV)=nR(T+ΔT)…(2)
が成り立つ

さらに熱力学第一法則により、内部エネルギーの増分をΔU、気体がピストンに
した仕事をΔWとすると
0=ΔU+ΔW…(3)
が成り立つ

このとき
ΔU=nCvΔT…(4)
は普遍的に成り立つ(Cv:定積モル比熱)

また、微小変化であるからその過程で圧力は一定とみなすことができる
したがって
ΔW≒PΔV…(5)

(4)、(5)を(3)に代入して
nCvΔT+PΔV=0
∴ΔT=-PΔV/nCv…(6)

次に(1)より
T=PV/nR…(7)

(2)÷(1)より
ΔP/P+ΔV/V=ΔT/T…(8)

(8)に(6)、(7)を代入して
ΔP/P+ΔV/V=-RΔV/CvV
∴(1+R/Cv)ΔV/V=-ΔP/P
∴(Cp/Cv)ΔV/V=-ΔP/P(∵Cv+R=Cp)
Cp/Cv=γとおくと
γΔV/V=-ΔP/P
両辺積分して
γlogV=-logP+C(Cは積分定数)
∴log(PV^γ)=C
∴PV^γ=e^C(eは自然対数の底)
∴PV^γ=一定

以上により示されます