定積分(個人的には超難問)

質問

∫(0→a)1/{cosx*cos(a-x)}dx
この問題を解きたいのですがどう手をつけてよいのか分かりません。
最初の方だけで結構ですので解き方を教えていただけませんか?
取り掛かり方だけでもOKです。お願いします。

回答No.3

info22

＞∫(0→a)1/{cosx*cos(a-x)}dx
被積分関数の分母のcos( )の括弧の中が±(π/2)±nπ（n=0,1,2,3,...）でゼロになるため、積分範囲のaやxの範囲に制限を加えないと積分が発散してしまいますね。たとえば、0≦x≦a＜(π/2)などの制限が必要ですね。
文字のまま積分しようとするととたんに難しくなりますね。
多くの数学ソフトを使っても文字のまま積分しようとするとギブアップしますね。積分結果が正しくないか、エラーメッセージを出したり、応答なしだったりします。
色々やってみた結果
0≦x≦a＜(π/2)という制限をつければ
I=∫(0→a)1/{cosx*cos(a-x)}dx=-2[log{cos(a)}]/sin(a)
となるようです。
複数の数学ソフトと手計算による合作です。
下記は不定積分です。ただし積分定数は省略しています。
勿論、0≦x≦a＜(π/2)の制約を積分の過程で入れています。
I=∫1/{cosx*cos(a-x)}dx
=-2[log{cos(a)}]/sin(a)-(sin(a)*(log(2*(cos(2*(x-a))+1))-log(2*(cos(2*x)+1))))/(cos(2*a)-1)

合っているかはaに0<a<(π/2)の範囲の具体的な値を入れてみれば確認できるかと思います。数値積分と上記積分結果の式を対応させるとか、ですね。多分大丈夫と思います。

＃結果から見ると分母のcos(x)とcos(a-x)=cos(a){cos(x)-sin(x)tan(a)}を1/{X(X-A)}を部分分数に分けるように2つの項に分けると積分ができる気がします。部分分数に分ければ1/cos(x)や1/cos(x-α)形の積分に持ち込めそうです（後は通常の置換の積分で可能かと思います）。やる気があるならやってみてください。

＃数学ソフトも必ずしも正しい結果を出さないので困ります。かの有名な積分サイトでの不定積分で対数の真数が平気で負になって出てきます。計算途中で関与できないので合作不可能でした。

回答No.2

T-gamma

積→和の公式を用いるといいと思います

回答No.1

rabbit_cat

三角関数の有理式の積分は、最終手段としては
t=tan(x/2) と置換します。
（tの有理式の積分になります。）