速度の問題

質問

以下の問題ですが、加速度の単位をm/s^2からkm/h^2に合わせて解くと思うのですが、どうなります？どなたか教えて下さい。

電車が、A駅を出て一定加速度0.20m/s^2で速さを増して行き、速さ80km/hになった後は、一定の速さで走り、そして、一定加速度0.10m/s^2で減速し、B駅に停止した。A駅を出てB駅に着くまでにかかった時間が10分だとすると、A駅とB駅との距離は何kmか？

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　丁寧なお礼の言葉をありがとうございます。

　ｖｔ平面での台形の面積で求めようとされているとのことですので、Ｔ２の導出過程について記しておいたほうが良さそうですね。

　　T＝T1＋T2＋T3　　　・・・・・（Ｂ）
　　ｖ＝aT1　　　　　　・・・・・（Ｃ）
　　0＝-(a/2)T3+v　　　・・・・・（Ｄ）

　式（Ｃ）より、T1＝v/a
　式（Ｄ）より、T3＝2v/a
　これらを式（Ｂ）に代入して、Ｔ２が得られます。
　　T＝v/a+T2+2v/a
　∴Ｔ２＝T-3v/a

　あとは、これを台形の面積の公式にいれれば、移動距離Ｌが求められます。
　　Ｌ＝（Ｔ２＋Ｔ）ｖ／２
　　　＝(2T-3v/a)v/2
　　　＝vT-3v^2/(2a)　　　←式（Ａ）と同じもの。

　なお、念のため、等加速度直線運動の公式集を載せておきます。
　＃１で立てた式は、この公式から導いたものです。
http://www14.plala.or.jp/phys/hs-phys/4.html#1

　考えてもお分かりにならなかった場合は、なんなりとご質問下さい。

お礼

ありがとうございました。未だに試行錯誤しておりました。
あまり公式の暗記が得意な方ではないので、
v-tで考えようとしておりました。
とてもシンプルな回答ですね。大変参考になります。
公式集も教えていただき、ありがとうございます。
色々な角度から問題を捉える事ができるように頑張ります。

また質問するかもしれませんが、その時は、宜しくお願い致します。

回答No.1

Mr_Holland

単位が合っていない場合は、文字に置き換えて、あとから単位の換算をしたほうが楽なように思います。（換算時の計算間違いの可能性も減らせますので。）

　次のように文字をおくことにします。

　（加速時）加速度ａ、時間T1、移動距離L1、初速０、最終速度ｖ
　（等速時）速度ｖ、　時間T2、移動距離L2
　（減速時）加速度-a/2、時間T3、移動距離L3、初速ｖ、最終速度０
　（全体）　時間T、移動距離L

　すると、等加速度運動や等速直線運動の公式から、次のように式を立てることができます。

　　L＝L1＋L2＋L3
　　T＝T1＋T2＋T3
　　v^2-0^2＝2aL1、ｖ＝aT1
　　L2＝vT2
　　0-v^2＝-2(a/2)L3、0＝-(a/2)T3+v

　これらの式から、次の関係が求められます。
　　T1＝v/a、T3＝2v/a、T2＝T-3v/a
　　L1＝v^2/(2a)、L2＝vT2＝vT-3v^2/a、L3＝v^2/a
　∴L＝L1+L2+L3
　　　＝v^2/(2a)+vT-3v^2/a+v^2/a
　　　＝vT-3v^2/(2a)　　　・・・・・・（Ａ）

　あとは、この式に具体的に数値を入れていけば求められます。
　　ｖ＝８０　[km/h]
　　Ｔ＝10分　＝1/6 [h]
　　ａ＝0.20 [m/s^2]　＝0.20*3600^2/1000＝２５９２　[km/h^2]

　∴Ｌ＝80*(1/6)-3*80^2/(2*2592)
　　　＝9.6 [km]

　この方法以外にも、ｖｔ平面上での面積が移動距離になることから台形の面積を求める方法もあります（Ｌの式変形の違いだけですが）。
　その場合は、上の連立方程式から、上底のＴ２を求めれば、素直に式（Ａ）を得ることができます。（Ｌ＝(T2+T)*v/2 ）

お礼

ありがとうございます。今、vt平面の面積を求める方法を考えておりましたが、まだ解けずに悩んでいました。
回答頂いた内容をまだ理解しておりませんが、よく見て理解に努めます。回答頂いた内容を理解できずに、また質問するかもしれませんが、その時は宜しくお願い致します。