1=0.999・・・についてですが

質問

1=0.9999・・・の説明で
1/3+2/3=1、0.333・・・・+0.666・・・・=0.9999・・・・
1/3=0.3333・・・で2/3=0.6666・・・
だから1=0.9999・・・・ってのがありますよね。

でも0.3333・・・って0.333・・・(永遠に3が続く数)と
0.333・・・(だけど最後は3にならない数字)があり
0.333・・・(永遠に3が続く数)+0.666・・・(永遠に6が続く数字）は0.999・・・(9が永遠に続く数字）になるけど1にならないし
0.333・・・(だけど最後は3にならない数字で1/3の回答になる数字）+0.666・・・(だけど最後は6にならない数字で2/3の回答になる数字）は1になるけど0.999・・・(永遠に9が続く数字)にも0.999・・・(永遠に9が続くけど最後は9にならない数字)にもならないですよね。
これだと1=0.999にならないと思うんですが、何かこの考えにおかしなところがあるんでしょうか？
是非わかる方教えてください。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

何回も出ている質問ですが、1=0.999…の意味は0.999…と9を無限に
続けていくときに、その極限値が1であるということです。
1=lim(n→∞){1-(1/10)^n}を小数で表現したものです。
つまり、1との差をいくらでも小さくできるということです。
ですから、たとえば0.999と止めてしまうと、1との差が0.001より小さ
くならないので、1≠0.999です。どこの有限桁で止めてもこのような
ことになり、1≠0.999…9です。
極限という考え方からすれば、0.5=0.4999…などとも表現できます。
1/3=0.333…にしても、0.333…と3を無限に続けていくときに、その
極限値が1/3だということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ということは1=0.999・・・というものは人間が実際に確認できないが実際にある数字同士の等記号ではなく
ある数式をわかりやすいように表現したものなんですね。
納得できました。
ありがとうございます。

回答No.8

puchner

度々ドモ。
puchnerです。

0.555・・・＋0.555・・・
ですが、これは以下と同値ですね。
5/9＋5/9=10/9
ですから、
1+1/9＝1+0.111・・・
ですよね。

何も少数でやる必要はないんですよー。

お礼

ありがとうございます
私が考えたような
1/3にならない0.333・・・(最後にあまり1/3が出るとか、ただ3だけが続き続けると思った)数字というものは存在しないってことですね。
1にもっとも近い数字が0.999・・・と思っていましたが、そんな数字は確認できないのだから存在してないのですね。
少数は分数と違うのだから違う意味だろうと考えてた根本が違ってたようです。

今まで回答をしてくださった皆様もありがとうございました

回答No.7

puchner

ん？
どなたか間違われているのか、、、No.1のpuchnerです。

>10倍しているのなら最後の最後に少数の位の差が出てくるのではないでしょうか
> その少数の位が存在出来ないだけ続くとしても。
> 10倍しているのですから。
> 何か考え方がおかしいのでしょうか？

差は出てこないんです。
「無限に」９が続いているので、どこまで行っても９が続いているのです。
差が出てきたら、それは「無限」ではないのです。

>1-0.999…＝0.000…＝0
>これに関しては0にならなく無限に0が続いた後に1が出てくるのではないですか？
>なぜ無限に0が続いた後の1が消されてしまうのかがわからないのです。

無限に０が続く以上、それ以外の数字は現れないのです。
仮に現れたとしたら、それは無限ではありません。
感覚的なものが支配しそうですが、これ、等比数列の無限和と同値です。
初項：０．９、公比：1/10の等比数列の全ての項を無限に足した値です。

途中で違う値が出てくる以上、それは有限であり、無限ではないんです。

難しいかもしれませんが、がんばってイメージを描いてください。

お礼

すいません。
この場合ですと
0.555・・・+0.555・・・はどうなるのでしょうか
1.111・・・となるには繰り上がりをはじめるところがなくなり1が続かなくなるように感じてしまったのですが
同じ数字が続いているのだから繰り上がりを始めた部分など考えずに1.111・・・としていいのでしょうか？

回答No.6

ko-bar-ber

Ｎｏ．１です。なかなか混乱しているようですね。
＞0.333・・・(永遠に3が続く数)+0.666・・・(永遠に6が続く数字）は0.999・・・(9が永遠に続く数字）になるけど1にならないし
これは違います。
0.333・・・(永遠に3が続く数)+0.666・・・(永遠に6が続く数字）は0.999・・・(9が永遠に続く数字）だから１になるということです。

無限に続くというのは、人間が確認できないくらい、どこまでもずっと続きます。
Ｎｏ．５さんが答えていますが、
>k＝0.999…とおくと、
>10k＝9.999…となる。
>10k-k＝9.999…-0.999…＝9
になっちゃうんです。

貴方が
＞10倍しているのなら最後の最後に少数の位の差が出てくるのではないでしょうか
と言いたい気持ちは分かりますが、掛け算をしても少数点以下は同じになるのです。

無限というのは、数学的に「特異点」と言います。
例えば、1÷無限大＝0です。
0に限りなく近づくけど、0にはならないと言いたくなりますが、数学的には0です。
また1÷0を考えてみましょう。
1/xのグラフを書くと分かると思いますが、1/10、1/5、1/2と、正の数から分母を0に近づけていくと、1÷0は無限大になりそうですよね。
でも、-1/10、-1/5、-1/2と、負の数から分母を0に近づけていくと、1÷0はマイナス無限大に近づいていきます。
永遠とか、無限ということを数学的に考えると、こんなおかしなことが起きてきます。
納得いかないかもしれませんが、永遠に9が続く0.999…という数は、数学的に１としています。

お礼

なるほど
無限というのはただその数字が連なっているのではないのですね。

文系の人間が使う無限とは違うところがあるので
文系の人間が文系の考えのまま理解しようとおかしく感じるのですね。
大変よくわかりました。

回答No.5

Noy

これに関しては、いくらでも説明はあるのですが…もっとも簡単だと思われるものを紹介します。

k＝0.999…とおくと、
10k＝9.999…となる。
10k-k＝9.999…-0.999…＝9＝9k
ゆえにk＝1

もっと簡単な説明？1から0.999…をひいてみてください。
1-0.999…＝0.000…＝0
だから、1と0.999…は等しい。といえば、小学生でもわかってくれるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>k＝0.999…とおくと、
>10k＝9.999…となる。
>10k-k＝9.999…-0.999…＝9＝9k
>ゆえにk＝1
これも良く使われるものですが
10倍しているのなら最後の最後に少数の位の差が出てくるのではないでしょうか。
その少数の位が存在出来ないだけ続くとしても。
10倍しているのですから。
何か考え方がおかしいのでしょうか？

>1-0.999…＝0.000…＝0
これに関しては0にならなく無限に0が続いた後に1が出てくるのではないですか？
なぜ無限に0が続いた後の1が消されてしまうのかがわからないのです。

回答No.3

ko-bar-ber

まずは、0.999・・・の定義をはっきりさせましょう！
1=0.999・・・が成り立つのは、あくまでも永遠に９が続く数のことです。
数学的には循環小数といい、０．９の９の上に「・」を書きます
ですから、貴方が途中で示したように、
＞0.333・・・(だけど最後は3にならない数字)
は有限な小数であり、循環小数とはいいません。異なる数字です。

＞1/3+2/3=1、0.333・・・・+0.666・・・・=0.9999・・・・
＞1/3=0.3333・・・で2/3=0.6666・・・
＞だから1=0.9999・・・・
が成り立つのは、あくまでも、３も６も永遠に続く循環小数であるときに限定されます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
更なる質問で申し訳ありませんが
>1=0.999・・・が成り立つのは、あくまでも永遠に９が続く数のことです。
>数学的には循環小数といい、０．９の９の上に「・」を書きます

ということは
1/3の回答は循環小数にならないということでしょうか？
1/3だと3が続きますが常に「余り1」が出てきますよね。
これだと永遠に3が続かないと思ったもので。

回答No.2

10ken16

直感的な説明になりますが、

０．９９９…が１と等しいかどうかが
分からない数ですね。
（１未満であるとも言い切れません）

１を越えない数であることは明らかです。

ではどんな数かというと、
１未満の、どんな数より大きい数です。

或いは、０．９９９＝ａとおいて、
（１０ａ－ａ）／９
としてもいいでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

puchner

これ、何度も出てきている質問ですね。

まず、間違いを指摘させていただきます。
1/3＝0.333・・・
＃・・・は一つ前の数字が無限に続くこととする
を利用されていますが、これは１＝０．９９９・・・を謳っていることと同値なので、これを使うことは証明になりません。

「・・・」を「永遠に一つ前の数字が続く＝無限に続く」とする場合、一番論理的な方法は、等比数列の無限和を利用することだと思います。

基本的に、１＝０．９９９・・・です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
等比数列の無限和というのを調べてみます。