√について理解できない

質問

√の計算をしているんですが、ただ機械的に解いているだけで未だに√の意味がよくわかっていません。
例えば√2や√3は　1.414213562……　1.732050807……　と永遠に続く無理数ですよね？
そんな数同士を掛け算したり割り算したりできるのかと疑問に思ってしまうんです。

それと、√4=2のように整数とイコールになるモノは理解できるんですが、√20=2√5　、　√80=4√5　などの整数とルートで表される数字の意味がよくわかりません。「なにがどうわからないの？」と訊かれると困ってしまうのですが……。

頭が固く、こんな質問をしてしまって申し訳ないのですが、「√」というものについて説明をお願いします。

回答No.7

sanori

こんにちは。

＞＞＞
未だに√の意味がよくわかっていません。

「√なんちゃら」　は、「同じ数同士をかけたら　なんちゃら　になりますよ」という意味です。

では、同じ数同士をかけたときに２になる数（つまり√２）を探してみましょう。

まず、１×１＝１＜２　なので、√２　＞　１　とわかります。
次に、２×２＝４＞２　なので、√２　＜　２　とわかります。

ということは、√２は、１と２の間の数ということなので、
間を取って試しに、１．５×１．５　を計算すると、２．２５。
ちょっと大きすぎですね。

そこで、１．４×１．４　を計算すると、１．９６
だいぶ近づきましたが、ちょっと少なすぎたようです。

そこで、１．４と１．５の間を取って
１．４５×１．４５　＝　2.1025　大きすぎ
１．４と１．４５　の間を取って
１．４２×１．４２　＝　 2.0164　大きすぎ
１．４と１．４２の間を取って
１．４１×１．４１　＝　1.9881　小さすぎ
１．４１と１．４２の間を取って
１．４１５×１．４１５　＝　2.002225　大きすぎ
１．４１と１．４１５の間を取って、
１．４１２×１．４１２　＝　1.993744　小さすぎ
１．４１２と１．４１５の間を取って
１．４１４×１．４１４　＝　1.999396　小さすぎ
１．４１４と１．４１５の間を取って
１．４１４５×１．４１４５　＝　2.00081025　大きすぎ
１．４１４と１．４１４５の間を取って
１．４１４２×１．４１４２　＝　1.99996164　小さすぎ
だいぶ近づいてきました。

＞＞＞
例えば√2や√3は　1.414213562……　1.732050807……　と永遠に続く無理数ですよね？
そんな数同士を掛け算したり割り算したりできるのかと疑問に思ってしまうんです。

電卓で
１．４１４２１３６×１．４１４２１３６
を計算すれば、ほぼ２になりますし、
電卓で
１．７３２０５０８×１．７３２０５０８
を計算すれば、ほぼ３になります。

１．４１×１．４１　は、
１．４１４２１３６×１．４１４２１３６　より、不正確になります。
桁表示を増やすほど、精度が増していきます。
電卓の８桁表示の後ろ（たとえば１．７３２０５０８の後ろの桁）に無限の桁が隠れていると考えてください。

＞＞＞
それと、√4=2のように整数とイコールになるモノは理解できるんですが、√20=2√5　、　√80=4√5　などの整数とルートで表される数字の意味がよくわかりません。「なにがどうわからないの？」と訊かれると困ってしまうのですが……。

まず、
３^2　×　２　を２乗すると、３^4　×　２^2　になることはわかりますか？
（３^2 は３の２乗のことです。）

２√５　は、　２　×　√５　のことなので、
２乗すると、
（２√５）^2　＝　２^2　×　（√５）^2
ここで、√５というのは、冒頭で説明したとおり
「２回かければ５になる」という数のことです。
ですから、当然、（√５）^2　＝　５　です。
（２√５）^2　＝　２^2　×　（√５）^2　＝　４×５　＝　２０　＝　（√２０）^2
頭とお尻だけ書けば、
（２√５）^2　＝　（√２０）^2
です。
２√５　＝　√２０
であることがおわかりになったかと思います。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.6

noname#64223

√の定義は、
√a×√a＝a
それだけです。
あとの規則や法則はそれに起因しているだけで、
誰かが決めたものでなく、√a×√a＝aに基づいて、
そうなっているのです。
√20も、
√20＝√（2×2×5）＝√2×√2×√5＝2√5
で定義どおりで、全く不思議ではないですよね？

従って、
√a×√a＝a
以上の説明は無理です。
これは決めごとで、それに付随する√の性質は、
この決め事から派生しているだけです。少なくとも、定義の部分と、
そこから派生する性質の部分は分けて考えた方がいいですよ。

回答No.5

reiman

1/3=0.333333・・・
と1/3も永遠に続く小数ですが
(1/3)×(1/3)
は理解できるのですね？
そしたら
永遠に続く√2と永遠に続く√3の掛け算も理解できるのではないでしょうか?

回答No.4

ymmasayan

正方形の面積が判っているときに辺の長さを求めるのが√です。
面積が１００ｍ^2のとき、一辺は１０ｍ、つまり√100＝１０です。
無理数であるπ(円周率)だって掛け算、割り算できますね。
因みに√2×√2＝２、√2／√2＝１で計算可能です。

>　√20=2√5
√20＝√(2×2×5)＝√(2×2)×√5＝2√5

後は慣れるしか有りません。

回答No.3

debukuro

√20=2√5
２０は４X５は分かりますね
√２０＝√（４X５）＝√４X√５
これも分かりますね
√４＝２これも分かりますね
そうすると
√２０＝２X√５＝２√５

√Nは日本語で平方根といって二乗するとNになるのです
2の二乗は4→√4＝２　3の二乗は９→√9＝３
有限小数や分数で表現できない平方根を√Nの形で表しているのです
√の記号を根号といいｒと－を組み合わせた形です
rootは根の意味です

回答No.2

kintyaku

数学をやっていると必ずx＾2=2のような計算に出くわします。
このようなxを求める場合、「2乗して2になるような数」が必要です。
しかし2乗して2になる数と言うのはおっしゃるとおり無理数であり表すのが難しいです。
そのため「2乗するとnになるような正の数を√nとする」という決まりをつくったのです。

1.414・・・という数を√2にしたのではなく、まず2乗すると2になる正の数√2が定義され、
それを数値としてあらわそうとすると1.414・・・のような数が出てきたということです。

回答No.1

sotom

便宜上√（ルート）を使っているだけで、入り組んだ問題になると、
単純な計算の結果だけ求めているのではないという事です。

仮に、√6＝√2*√3ですが、それぞれの数を掛け合わせるより、
√6を計算した方が速いのは明らかです。これが設計図などでは、
三角比も出てまいります。実際の数字を求める場合は、√等が最も
少なくなるような計算結果を出して、最後に√の計算を組み込みます。

質問者様の場合、逆に考えると、√に限らず、分数だって有理数ですが、
永遠に続く事に違いはありません。円周率だって、面倒くさいからπに
しているようなものではないでしょうか？

そんなもんだと思っていただければ幸いです（＝ω＝.）