不等式について

質問

実数α、βに対して、
「α＞１、β＞１ならばαβ＞１である」・・・(１)
という命題と、
「α－１＞０、β－１＞０ならば(α－１)(β－１)＞０である」・(２)
という命題が同等ではないらしいのですが、その理由を詳しく教えてください。
(１)ではαβ、
(２)では(α－１)(β－１)＝αβ－(α＋β)＋１となり、α＋βの項の有無がその原因だと思うのですが、何故このようなことが起こるのかよく分からないのです。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

(1), (2)の命題が正しいことはNo.1さんのおっしゃるとおりです。しかしα軸とβ軸の平面を考えると、前段（十分条件）のα>1, β>1と、α-1>0, β-1>0とはまったく同じ範囲を指定していますが、後段（必要条件）の主張は同じ範囲を指定しているわけではありません。
αβ>1というのは、αβ=1の双曲線の上側ですから、α<0のところでは第3象限は双曲線の上、第2象限はすべて、α>0のところでは第4象限は範囲外、第1象限は双曲線の上です。
一方（α-1)（β-1)>0はβ(α-1)>α-1ですから、α>1ならばβ>1, α<1ならばβ<1ですから、（1,1)の点で交わるα=1,β=1の直線で十分条件の決める範囲とその反対がわ（α<1かつβ<1）を指しております。

回答No.1

mis_take

(1)と(2)は共に「常に正しい」命題なので同等です。

質問したかったのは，下のことでしょう。

「ｘ＞０ かつ ｙ＞０ ⇔ ｘｙ＞０ かつ ｘ＋ｙ＞０」
と
「ｘ－１＞０ かつ ｙ－１＞０ ⇔ (ｘ－１)(ｙ－１)＞０ かつ　(ｘ－１)＋(ｙ－１)＞０」
は常に正しい。
「ｘ＞１ かつ ｙ＞１ ⇔ ｘｙ＞１ かつ ｘ＋ｙ＞２」
は正しいとは限らない（たとえば ｘ＝９，ｙ＝１/２ のとき）