不等式

質問

やっぱりわからない部分があり、もう一度質問させてもらいます。

不等式2x^2-9x+4＞0・・・(1)
　　　x^2-(k+5)x+2k+6＜0・・・(2)
(1)(2)を同時に満たす実数xが存在しないような実数kの範囲は□≦ｋ≦□である。
また(1)(2)を同時に満たす自然数xがただ一つである実数ｋの範囲は□＜ｋ≦□となり、
このとき(1)(2)を同時に満たす自然数xは□である。

k=-1という基準なんですが、これは判別式（実数解が存在するときのパターン）で
解いたら、基準らしきものがでてきたというものです。
ですが、(2x-1)＾2＜0は成り立たないからk=-1を基準にするものとしてよいのでしょうか？
k=-1という基準が求まる理由を教えて下さい。

k+3 = 2 すなわち、k =-1のとき
(x-2)^2 < 0 となりますが、これは解なしですよね？この場合も(1)、(2)を同時に満たすxは
存在しないという条件にあてはまると考えるんですよね？ですが、「解なしもあてはまる」
というのが不思議です。
結果として 1/2 ≦ k+3 ≦ 4にあてはまるという、数値的なことはわかるのですが・・・
数値的にあてはまればOKと覚えてもいいのでしょうか？

最後の自然数を求める部分なんですが、
4＜k+3≦6とならないのは、もっと条件の的を絞って、
5＜k+3≦6となるのでしょうか？
「≦6」となるのが疑問です。
5＜k+3＜6なら自然数は一つだけ含むと納得できるんですが、
「≦6」となればk+3は5か6になるという、自然数の候補が二つ存在することに
ならないのでしょうか？

あとこれら疑問さえ解消すればこの問題はクリアできそうなんです。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

hinebot

#2です。

>答えの書き方が、
>2>k+3 のとき
>2<k+3 のとき
>2=k+3 のとき
>とせず、、場合分けなしに、一緒に書いてありますが、これはよいのでしょうか？
>答えの求め方や、意味はわかってます。ただ、答えの書き方に疑問がでてきただけです。

これは、答え（模範解答？）の書き方がどうなっているかを具体的に教えていただかないと、アドバイスのしようがないですね。

>解説には
>ｋ+3=6のとき、「6は解に含まれず、5だけ含まれるから」OK
>とあり、「6は解に含まれず」だから＜6かなあ？と思うと、答えは5＜ｋ+3≦6となっているので、
>よけいわからなくなってしまいます。

これは#2でも（#3でも）書きましたが、kとxを混同されてます。
「6は解に含まれず、5だけ含まれるから」⇒これはｘについての説明です。
そのとき「ｋ+3=6のとき」であり、これはもちろんkについての条件ですね。「ｋ+3=6のとき」つまりkは等号のときもokだということです。
『「6は解に含まれず」だから＜6かなあ』ですが、
「6は解に含まれず」はｘについて、「だから＜6かなあ」はkについての事柄なので結び付けてはいけません。
（この辺、結構ハマリやすい間違いなので、とことん納得できるまで考えてくださいね。）

このことを踏まえて、もう一度#3を見てください。

お礼

ありがとうございます。
ｘとkを混同しているという、その自覚症状がない
というか、わかってないみたいです。
もう一度考えてみます。

まずはお礼まで。

回答No.3

hinebot

#2です。「≦6の件」の方ですが、当方、ちょっと勘違いして解説したようです。

---------------------------------------------
重なっている範囲は4<x<k+3 の範囲ですね。
この中に自然数が1個含まれる必要があります。
このときその自然数は５であることはすぐに分かりますね。
k+3=5 では5は4<x<k+3=5 の範囲に入りませんから
5<k+3 であるのはOKでしょうか。
さて、今度は逆にk+3>6 では、4<x<k+3 の範囲に自然数が2個以上（5,6,…）含まれて
しまいますから　k+3≦6 でないといけません。
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これは、前回の回答の抜粋です。#2でも書きましたが、自然数1個という条件はx に対する条件です。
なので、"4<x<k+3" の範囲に自然数が1個あればよいわけです。
この不等号"4<x<k+3"には等号（＝）はついてませんよね。
だから、両端の4とk+3は範囲に含まれません。【ここがポイント！】
k+3=6 つまり、4<x<6 なら　x=5 という自然数1個が含まれます。(境界の6は範囲に入らない）
k+3が6より少しでも大きいと例えば、k+3=6.1なら
4<x<6.1 となり、x=5,6という自然数2個を含んでしまいます。
なので、k+3=6までは題意を満たすけど、k+3>6では題意を満たさないわけです。
なので、k+3≦6 です。（k+3=6 もOKなので等号がつきます。）
ついでに、逆にk+3=5 なら4<x<5 となり、この範囲に自然数は１つもありません。（境界の4,5は範囲に入らない）
k+3が5り少しでも大きいと例えば、k+3=5.1なら
4<x<5.1　なので、この範囲に自然数5が１つ含まれるので題意を満たします。
よって、5<k+3 です。
前回の回答は、こういうことを言いたかったんですが、これでお判りいただけましたか？

回答No.2

hinebot

○k=-1の件
(2)を因数分解して
(x-2){x-(k+3)}<0
で、この解の範囲は2とk+3 の大小関係で決まるということは大丈夫ですか？
なので、
2>k+3 のとき
2<k+3 のとき
2=k+3 のとき
という場合別けが必要になって、その１つとしてk+3 = 2 すなわち、k=-1 という（質問者さんのいうところの）基準が出てくるわけです。
で、k=-1のときこの式は
(x-2)^2 < 0
となり、(2)は解なしとなったんですよね。

さて、
>(2x-1)＾2＜0は成り立たないからk=-1を基準にするものとしてよいのでしょうか？
この式はちょっと勘違いされているようですね。
(1)の方は(2x-1)(x-4)=2(x-1/2)(x-4)>0　なので
x<1/2,4<x で、こちらは常に解が存在します。

問題は、「同時に満たす実数xが存在しない」ですね。
今回の疑問は、数学というより国語の問題っぽくもありますが、(2)が解なしの場合も「同時に満たす実数ｘは存在しない」ですよね。(2)を満たす実数ｘそのものがないのですから、(1)と(2)を同時に満たす実数ｘも当然存在しません。こういう意味です。

○≦6 の件
これは、kとx を混同されているようです。
問題は「(1)(2)を同時に満たす自然数xがただ一つである」で、自然数１つであるのは、xであってｋではありません。
つまり、ｋは自然数１つでなくてもいいんです。

補足

何度もご回答をありがとうございます。
いつも丁寧なご解説をいただき、感謝してます。

＞問題は、「同時に満たす実数xが存在しない」ですね。
今回の疑問は、数学というより国語の問題っぽくもありますが、(2)が解なしの場合も「同時に満たす実数ｘは存在しない」ですよね。(2)を満たす実数ｘそのものがないのですから、(1)と(2)を同時に満たす実数ｘも当然存在しません。こういう意味です。

これはわかりました。解決しました(^^)

それと、やはりわからないところがまだあります。

「同時に満たす実数xが存在しない」

という問題ですが、
答えの書き方が、
2>k+3 のとき
2<k+3 のとき
2=k+3 のとき
とせず、、場合分けなしに、一緒に書いてありますが、これはよいのでしょうか？
答えの求め方や、意味はわかってます。ただ、答えの書き方に疑問がでてきただけです。

「≦6」の部分なんですが、
＞4<x<6 なら　x=5 という自然数1個が含まれます。

ここまでは理解できるんですけど、

5＜ｋ+3≦6となると、どうしても理解できなくなってしまいます。
「≦6」とは6も含むという意味があるんですよね？

解説には
ｋ+3=6のとき、「6は解に含まれず、5だけ含まれるから」OK

とあり、「6は解に含まれず」だから＜6かなあ？と思うと、答えは5＜ｋ+3≦6となっているので、
よけいわからなくなってしまいます。
数直線を書いて考えたしてみたのですが、やはりわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

daisangenn

(1)
Love1001さんの解き方がよく分からないので僕なりのとき方を書きます。

まず式(1)より、
(2x-1)(x-4)>0　より、x<1/2,x>4

式(2)より、
(x-2){x-(k+3)}<0
ここで、k+3>2　つまり、k>-1の時　2<x<k+3
k+3=2　つまり、k=-1の時　x=2
k+3<2　つまり、k<-1の時　k+3<x<2
となる。

題意より、
k>-1の時　k+3≦4(このようになる理由は数直線を書くと分かります。ちなみに"<"でなく、"≦"になる理由は、式(1)がx=4の時は成り立たないからである。)
より、k≦1　より、-1<k≦1
k<-1の時　k+3≧1/2　より、k≧-5/2　より、-5/2≦k<-1
又、k=-1の時は題意を満たすから、答えは、
-5/2≦k≦1　になる。

(2)
(A)x=5という解のみが存在する時を考える
この時のk+3がとりうる範囲は、
5<k+3≦6になります。
この理由は、k+3が5より少しでも大きくないと、式(2)はx=5という解を持たない（解の範囲が"≦"でなく"<"だから。）。又、k+3=6も含む理由は、式(2)がk+3=6まではx=6という解を持たない。（これも解の範囲が"≦"でなく"<"だから。もし分からなければ数直線を書いてください。）。
というわけで、結局答えは、
2<k≦3のときx=5という解を両式において成り立つ。

補足

ご回答をありがとうございます。

＞(2)がk+3=6まではx=6という解を持たない。（これも解の範囲が"≦"でなく"<"だから。もし分からなければ数直線を書いてください。）。

数直線を書き考えてみたのですが、

k+3=6まではx=6という解を持たない

という意味が理解できませんでした。