3乗根の証明

質問

aを実数としたaの3乗根のうち実数であるものはただひとつしか存在しないことをグラフを使わずに示すのはどうやったらいいですか？
よろしくお願いします。

回答No.4

banakona · ベストアンサー

ａ≠０とします。
相ことなる実数の３乗根ｂ、ｃがあったとする。（ｂ，ｃ≠０）
ｂ^３＝ｃ^３（＝ａ）
ｂ^３－ｃ^３＝０
∴（ｂ－ｃ）（ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２）＝０
ｂ≠ｃなので　ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２＝０
解の公式でｂ＝（－ｃ±（√３）＊（｜ｃ｜ｉ））／２
ｃ≠０なので、±のどちらをとるかに関わらずｂは虚数。
これは「ｂ、ｃが実数」と矛盾する。よって実数根は高々１個。つまり少なくとも２個は虚数根。
あとはｐ、ｑを実数（ｑ≠０）としてｐ＋ｑｉが根とするとｐ－ｑｉも根になることを示し（簡単なので省略）、これら２根を解とする２次方程式ｘ＾２－２ｐｘ＋ｐ^2＋ｑ^2＝０の左辺（係数は全て実数）でｘ^3－ａが割り切れることから商の係数も実数。よって残りの根も実数。
以上から実数根はただ１個存在する。
というのはどうでしょう。＃１さんのを詳しく言っただけという気もしますが。

お礼

とてもわかりやすいです！ありがとうございました！

回答No.3

mild_salt

まず、「複素数 b+ic が a の三乗根ならば、その共役 b-ic も a の三乗根である」が示せます。そうすると、x^3 = a の複素解は 0 個 または 2個です。それぞれの場合、実数解は 3個 または 1個 です。

一方、a の三乗根の絶対値は全て等しいですから、異なる実数解は高々2個です。

以上より実数解は1個、というのはいかがでしょうか。

回答No.2

einart

異なる実数A,Bを用意します。
実数には大小関係がありますね。
それゆえに、AとBが異なることから　B＞A　がわかります。ですから
　B＝A+ε
と書き直すことが出来ます。
さてここで、AもBも　aの3乗根　であったならば？

回答No.1

koko_u_

実数解の存在を仮定していいなら、他の 2根が虚数であることを示せばよいだろう。これは 1 の 3乗根が 1, ω, ω^2 で ω = (-1 + √(-3))/2 は虚数から容易だ。