三乗根の二乗根号

質問

3√26-15√3
の解き方がわかりません
3*√26-15√3ではなく
26-15√3の三乗根です

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

(26-15√3)^(1/3) は？

(r+s√3)^3 = (26-15√3)　が成立つ {r, s} を求めてみる。

　(r+s√3)^3 = (r + s√3)(r + s√3)^2
　 = (r + s√3)(r^2+3s^2 + 2rs√3)
　= {r(r^2+3s^2)+6rs^2} + {2sr^2+s(r^2+3s^2) }√3
　= r(r^2+9s^2) + 3s(r^2+s^2)√3

　 26 = r(r^2+9s^2)　　　…(R)
　-15 = 3s(r^2+s^2) → -5 = s(r^2+s^2)　　　…(S)

(以下、早足 … )

(R) から s = (r の算式) を求めて (S) へ放り込むと、
　(25*9^3)r^3 = (26-r^3)(8r^3+26)^2
となり、U=r^3 の方程式、
　(25*9^3)U = (26-U)(8U+26)^2
を得る。
その実根はひとつ U=8 。つまり、r=2 。
これを (R) へ代入。
　26 = 2(4+9s^2) → 18 = 18s^2 → s^2=1 : s=±1

途中で根号処理したので、要検算 (26-15√3 = 0.0192378…) 。
　(2+√3)^3 = (26-15√3)　: NG
　(2-√3)^3 = (26-15√3)　: OK

…こりゃ、数学ユーザーはうっかり「受験数術」に手をだすな、のサンプルだネ。

お礼

ありがとうございました。丁寧な回答でよく理解できました

回答No.1

f272

(a-b)^3=(a^3)-3(a^2)(b)+3(a)(b^2)-(b^3)=a(a^2+3b^2)-b(3a^2+b^2)
で
b=√3
と考えると
(a-√3)^3=a(a^2+9)-√3(3a^2+3)
(a-√3)^3=a(a^2+9)-3√3(a^2+1)
これと
26-15√3
を見比べて
a=2
とすれば
(2-√3)^3=2(4+9)-3√3(4+1)=26-15√3
2-√3=(26-15√3)^(1/3)

お礼

ありがとうございました。とても分かりやすかったです