テイラーの公式について

質問

農学部の二年生です。テイラーの公式がどうしても理解できません。教授はもう年老いた人で、もごもごと独り言をいっているようで何を言ってるかさっぱりわかりません。わかりやすく理解するために簡単でいいのでヒントのようなものをいただけると助かります。

回答No.2

R_Earl

y = x^2や、y = x^3 + 8等の、xのn次式でできた関数は計算が楽ですよね。
xがどんな値でも、努力次第でyが求まります。
ですがy = cos xやy = log xなどは、xの値が決まった値じゃないと計算ができません。
x = 3の時のcos xの値を計算できるでしょうか？

ところがテイラーの公式を使うと、cos 3等の不可能そうな計算も
ある程度値を求めることができます。
テイラーの公式とは近似みたいなものです。
y = log xやy = sin x等の関数を、上に乗せたような
xのn次式に近似します。

例えばcos xは

1 - (x^2 / 2!) + (x^4 / 4!) - ……

という式で近似できます。つまり

cos x
≒ 1 - (x^2 / 2!) + (x^4 / 4!) - ……
＝ 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - ……

となります。

f(x)の近似式の求め方は

Σ [ { ( f^(n)(0) ) / ( n! ) } x^n ]

です（この式は教科書にも載っているでしょう）。
f^(n)(0)はf(x)をn階微分したものに、x = 0を代入したものです。
nの範囲は0 ～ ∞となっています。

なぜこうなるのか私は証明できないのでそのあたりは省きますが、
とにかくテイラーの公式とは近似式を求めるものだと思っておくと
良いと思います。

お礼

なるほど、そうだったんですか。考えが変わってまたやる気がおきました。もう一度がんばってみます！ありがとうございました。

回答No.1

info22

以下のサイトに分かり安く書いてありますからご覧下さい。

初心者用　テイラー展開解説（URLの先頭にはhを補って下さい。）
ttp://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/taylorexp/taylor1.htm

その後各関数のテイラー展開のURLをご覧下さい。

テイラー展開 - Wikipedia
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
ttp://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_2.html

お礼

詳しくありがとうございます。だんだんと理解し、最後に問題も解けるにようになるまで参考にできそうです。もう一度、がんばってやってみます。