微分の問題？についての質問

質問

α0x^n＋α1x^(n-1)＋・・・＋αn-1x＋αn＝0　　　α0≠0
は、nが奇数ならば少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

↑の問題はnに適当な数をいくつか代入して示す、という形でいいのでしょうか？（自分でもよくわかっていません。）
ちなみにαの横の0やnはαの番号です。

説明が下手でごめんなさい。皆さんの考えを聞かせてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

No1
α0＞0のときでした。
α0＜0のときは∞の符号が逆になり、同様に中間値の定理による。

お礼

二度も回答していただきありがとうございます。
早速やってみます。

回答No.6

oyamala

かなり自信がないですが・・・参考までに。
実係数の方程式は、共役な複素数も解に持つという性質があります。
証明はどこかに載っていると思うので参考にしてください。

それを利用すると、αi(i=0,1,・・・)が実数のとき、与えられた方程式が虚数解しかもたないと仮定した場合、必ず共役な複素数とペアですから、偶数個の解をもつことになりますね。
しかしnが奇数ですから、解の個数は奇数となり、矛盾します。
つまり与えられた方程式が虚数解を持たないとした仮定が誤りなわけですから、少なくとも1つ実数解をもつことになります。

回答No.5

ringouri

「nに適当な数をいくつか代入して示す」のでは解答になりません。
nはあくまでも任意の奇数なのですから。

α*は実数として考えると、左辺の式をα0で割った式をf(x)とおいて、
ｘを実数の範囲で動かしてみます。
ｘ→+∞のとき f(x)→+∞、ｘ→- ∞のとき f(x)→- ∞ [nが奇数のとき]
となるので、中間値の定理により、f(x)=0となるｘが少なくとも１つあることになります。
したがって、与えられた方程式は、ｎが奇数のとき少なくとも１つの実数解を持ちます。

ｎが偶数の場合は、ｘ→- ∞のとき f(x)→- ∞ が成り立たないので、
ｎが奇数という条件が必要となります。

...こんな感じでどうでしょうか？
中間値の定理を使わないとすると、話がややこしくなりそうですが...

お礼

夜遅くわざわざありがとうございます。
助かりました。

回答No.4

noname#47975

α0≠0なので、
α0x^n＋α1x^(n-1)＋・・・＋αn-1x＋αn＝0
の両辺をα0で割って
x^n + α1/α0x^(n-1) + .... + αn/α0 = 0と
して考えるべきかと思います。
そうすれば、α0が正・負について考慮する必要がなくなりますので．．。

後は、#1さんが提唱しているやり方で証明すればＯＫかと思います。

回答No.2

dephands

a_i (i=0,1,2, ,,,n)が実数という条件があるならば、代数学の基本定理を使えば出てきますよ。

回答No.1

zk43

奇数次ならばx→-∞のとき-∞に発散し、x→∞のとき∞に発散する。
よって、f(a)<0、f(b)>0となるa,b(a<b)が必ずある。
連続関数なので、中間値の定理によりaとbの間で必ずf(c)=0となるcが
ある。