２つに直交する単位ベクトル

質問

ａ＝(１，２，１）にもｂ＝(２、－１，１)にも直交する単位ベクトル
を求めたいのですが、求めたい単位ベクトルをｘと置いて
ａ・ｘ＝０、ｂ・ｘ＝０という風にしてみたのですがうまくいきません。
計算過程を含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

>>　求めたい単位ベクトルをｘと置いて.。

ｘ=(x,y,z)
　単位ベクトは、大きさが１だから、
｜ｘ｜＝１　と書けます。
　　　これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１
　　　　両辺を２乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１・・・（Ａ）

また、
>>　ａ・ｘ＝0、 ｂ・ｘ＝０

　　　是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0, 　(2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・（Ｂ）,　2x-y+z=0　・・・（Ｃ）　　　　　

　　　（Ｃ）－（Ｂ）で、
　　　x=3y　　　これを、（Ｂ）に代入して、
　　　z=-5y

　　　x,z　が y　で表されているのを確認して、
　　　２式を（Ａ）に入れて、

　9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1
　　　　　　　　　　　35(y^2)=1
　　　　　y=(1/√35), (-1/√35)

　　　　即ち求めたい単位ベクトルは、
　　(3/√35, 1/√35, -5/√35)　、
　　(-3/√35, -1/√35, 5/√35)　。

お礼

ご解説ありがとうございます。
非常に理解しやすく助かります。
ありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

x + 2y + z = 0
2x - y + z = 0
差を取れば、
-x + 3y = 0
x = 3y
これを、
x = 3y = 3t
と置きます。

最初の式より
x + 2y + z = 0
3t + t + z = 0
z = -4t

よって、２つのベクトルに直交するベクトルは、
(3t, t, -4t)
で表されます。

以上でベクトルの方向は決まりましたが、単位ベクトルなので、絶対値を１にしなくてはいけません。
√[ (3t)^2 + t^2 + (-4t)^2 ]
　＝　ｔ・√( 3^2 + 1^2 + 4^2 )
　＝　ｔ・√( 9 + 1 + 16 )
　＝　ｔ・√２６
これが１と等しいという条件で、ｔが決まります。

お礼

ご解説ありがとうございます。
また質問で申し訳ないのですが、x=3y=3tと置いたときなのですがこの場合z=-5tになると思うのですがいいのでしょうか？

回答No.1

butouka

ｘの長さが1である条件が抜けてませんか？

ｘ＝（u,v,w)とすると、
a・x=0,b・x=0より、
1・u+2・ｖ+1・ｗ＝0
2・u-1・v+1・z=0
∴u=3v,w=-5v
xの長さが1という条件より、
u^2+v^2+w^2=1
∴v=±(1/√35)
以上より、...

お礼

ご解説ありがとうございます。
おっしゃる通りxの長さが１という条件が抜けていました。
あとは代入すればという事ですね。
ありがとうございます。