双対性のある関係は無数にあるのでしょうか

質問

数学で双対性という概念は重要であると書いてありますが、例は無数にあるものなのでしょうか。また素人でも納得しやすい例を教えていただけるとありがたいです（なるべくなら中学くらい）。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

>代数などの領域では存在しないのでしょうか。

それがあったりしますが，
中学生レベルでは代数的なものはないと思います，
幾何の例がかろうじて，証明は抜きにして
中学生レベルです．
＃実際，SEGの中学部の問題で，パップスもパスカルも
＃ブリアンジョンも出てますが，
＃そもそもSEGを基準にしては駄目かも

個人的には，双対性が威力を発揮するのは，
もっと抽象的な世界，まさに代数の世界だと思いますが，
前提知識をどれくらい仮定してよいのか。。。
仮に何らかの知識を仮定できたとしても，
たぶんうまく説明できませんです(^^;;．

とりあえず，方向性の一例だけを挙げてみます．
代数的な方面の双対でしたら。。。一番抽象的なのは
いわゆる「カテゴリー論」とか「ホモロジー代数」と
呼ばれるあたりでしょう．
めちゃくちゃに抽象的ですが，
コンピュータ方面からも注目されている分野です．
双対性がかなり明確に出てきます．

お礼

印象的なご教示をありがとうございます。何か発見のための指針を与えてくれるようなはたらきがあるのでしょうか。

回答No.3

kabaokaba

重要ですけど・・・わかりにくいです．
具体的で比較的分かりやすいのは，
初等幾何ででてくるもの，No.1さんがおっしゃってたものです．
一例をあげてみます．
図を描いてみてください．

パップスの定理
「二つの直線l.mをとり
l上に点A1，B1，C1，
m上にA2,B2,C2をとる．
A1B2とA2B1の交点をP，
B1C2とB2C1の交点をQ，
A1C2とA2C1の交点をRとする．
このときP，Q，Rは一直線上にある」

という定理があります．
これの「双対」は（わざと文字を変えないで書きます）
以下のようになります．

二点l，mをとる．
lを通る直線A1，B1，C1，
mを通る直線A2，B2，C2を考える
このとき，
「A1とB2の交点」と「A2とB1の交点」を通る直線をP，
「B1とC2の交点」と「B2とC1の交点」を通る直線をQ，
「A1とC2の交点」と「A2とC1の交点」を通る直線をR
とすると，P，Q，Rは一点で交わる

この二つの定理は，よく見ると
「点と直線」を巧妙にすりかえているのが分かると思います．
「点を通る直線」が「直線上の点」とかに入れ替わってますね．
これが初等幾何での「双対性」です．
つまり，
長さとか面積とか角度は相手にせず，
直線と点で，その上にあるとか交わるとかいう性質だけで
構成されているような定理は
実は「入れ替えても」成立するんですが
この性質を「双対性」とか「双対原理」とかいいます．
この裏側には「射影幾何」というのがあって，
この「双対原理」は射影幾何の言葉で証明されます．

＃ちなみにパップスの定理は「パスカルの定理」の特殊なもので
＃パスカルの定理の双対は「プリアンションの定理」といいます．

お礼

ご教示ありがとうございます。どんな定理でも双対性の相手があるというわけではないのですね。代数などの領域では存在しないのでしょうか。

回答No.2

ykgtst

私も、双対（そうつい）性は重要だと思います。下記リンクをごらんください。早い話が対（つい）Pairペアになっている関係ということです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE

お礼

ご教示ありがとうございました。早速見させていただきます。

回答No.1

N64

今はもうはっきり覚えていませんが、市民大学で、点と直線の定義を入れ替えても、定理が全く同じように成り立つという幾何学を教わったことがあります。

お礼

市民大学でも教えるところがあるのですね。御回答ありがとうございました。