何故，（－１）＊（－１）＝（＋１）となるのか？

質問

娘の中１の数学の教科書を見ても，大人として納得のいく解説がなされていませんでした。マイナス倍の概念(考え方，教え方)についてどなたかご教授を。

回答No.7

Ichijiku13 · ベストアンサー

掛け算は大きさ・長さなどの量の伸び縮みに関係し、＋や－はその伸び縮みの方向と考ることができます。

それを説明するために、方向をともなった掛け算の例として、速度と時間から距離を計算することを考えて見ましょう。

ご存知のように
（距離）＝（速度）ｘ（時間）
です。

この速度と時間には方向があります。

例えば東向きをプラスとすると、西向きはマイナスになります。ですから、時速60キロの車が東に進んでいるときはその速度は＋60km/hrで、西向きのときは-60km/hrと考えることができます。

一方、時間については、未来方向はプラス、過去方向はマイナスと考えることができます。現在を基準として＋3時間とは（当然）現在から3時間後のことですし、－3時間とは3時間前のことになります。

ここで先ほどの式を考えて見ますと、

(+60km/hr)ｘ（＋3時間）は時速60キロで東向きに進んで3時間後の現在地からの距離をあらわし、それはつまり東に360キロの地点になります。これは+360キロの地点です。

(-60km/hr)ｘ（＋3時間）とは、時速60キロで＊西向き＊に進んで3時間後の現在地からの距離をあらわし、それはつまり西に360キロ（-360キロ）の地点です。

そして問題のマイナス同士の掛け算ですが、
(-60km/hr)ｘ（-3時間）とは、時速60キロで＊西向き＊に進む車が、3時間＊前＊にいた地点をあらわすことになります。それは東に360キロの地点、つまり+360キロの位置です。ほら、マイナスｘマイナスがプラスになりましたね。

マイナスをものの数と考えるとわかりにくいのですが、上の例のように、＋・－を伸び縮みの「方向」と考えるとわかりやすいかと思います。

お礼

イチジクさんのご回答が，一番すんなりと頭に入ったようです。これで少しはテストの出来も良くなってくれるといいのですが・・・・。ありがとうございました。

回答No.8

shkwta

いろいろな説明のしかた、いろいろな納得のしかたがあります。
分配法則などの説明で納得する方もあり、数直線など図形的なイメージで納得する方もあり、借金や車の進行方向などの話にたとえて納得する方もあります。解説がほしいというだけだと、同じような説明になってしまうと思います。
「こういう点が、どうしても疑問なのだが」というところがはっきりすれば、ポイントを絞った説明もできると思うのですが。よろしければ、疑問点を補足してください。
参考のため、過去の質問をあげておきます。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=13727
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=26540
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=137610
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=173759
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285182
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=326439
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=440709
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=449957
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=492736
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=541756
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=685878
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=706850
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=799926
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=867766
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1260977
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1319172
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1327574
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1381901

回答No.6

ssmarugoo

数直線で考えてみてください。左が小さく、右に行くと大きくなる。ですよね。
０を基準に－は左側、＋は右側です。＋を掛けると、同じ側に移動しますよね。
例えば、（－３）＊（＋２）だと、０を基準に３足らないものが、０を基準に２倍足りなくなるから、－６となる。

＋の反対が－なので、－を掛けると数直線上で０を基準に逆方向に移動します。と考えてみてはいかがですか？
例えば、（－１）＊（－１）だと、０を基準に１足らないものが、０を基準に逆側に、（右に）１倍移動するので、＋１です。

回答No.5

パんだ パンだ（@Josquin）

教科書に書いてあるのは、
-1×3=-3, -1×2=-2, -1×1=-1, -1×0=0
という規則性から
-1×-1=1
って感じでしょうか？

マイナスというのは増加方向が逆になることです（どちらかといえば、ベクトルの考え方ですが）。
2×3=6　２を「２と同じ方向に」３倍
2×(-3)=-6　２を「２の逆方向に」３倍
(-2)×3=-6　－２を「－２と同じ方向に」３倍
(-2)×(-3)=6　－２を「－２と逆方向に」３倍
数直線上で考えるとわかりやすいかと思います。

回答No.4

nao_k11

（－）は逆と考えたらいいと思います。
要するに（＋）の反対と考えます。

（－）＊（－）＝（＋）ということは、
マイナス〔プラスの逆側〕にその反対をかけるとプラスになるという考えです。

ちなみに同符号足し算は、同じ向き場合なので数字を足せばいいと考えます。

数直線上で0を中心に左右といった向きでで考えると分かりやすいですよ。

回答No.3

mikisuke_0226

色々やり方はあるのですがｗｗ

(－1)×{(－1)＋1}＝(－1)×0＝0
分配法則より、(－1)×(－1)－1×1＝(－1)×(－1)－1＝0
よって、移項して(－1)×(－1)＝1

と考えたり、
－1＝cosπ＋isinπ　と極形式に変形して、
(－1)×(－1)＝(cosπ＋isinπ)×(cosπ＋isinπ)
＝cos(π＋π)＋isin(π＋π)＝cos2π＋isin2π＝1

ってのも方法かなと思います。
確か過去に同じ質問が何回かで照ると思いますので
そちらも見てみるといいと思いますよ。

回答No.2

noname#14601

1×(-1)=(-1)
は直感で納得出来ると思います。

5×4=20
これは
（6-1)×(5-1)と同じ事ですが
この掛け算は
(6×5）＋（(-1)×5)＋(6×(-1)）＋(-1)×(-1)=30
と同じ。
したがって(-1)×(-1)=(+1)

という説明はいかがでしょうか？

回答No.1

nia-happy

あくまで、私の考え方なので、正しい答えではないと思いますが、私はこのようにして理解しました。

「マイナス」という記号は、０をはさんで反対にする作用がある。
－１に１をかけたら、そのまま－１。
かける数の１が－１になったら、０をはさんで反対になるから、１。

本質的な考え方を説明するものではないですが、覚え方ってことで。
お嬢様は、いま中学１年生ですか？
私は家庭教師をしているのですが、中学校数学で最初の難関は、マイナスを理解できるか、だと思います。
マイナスの掛け算が、本当に使えるようになるまでじっくり教えてあげてください。