偏微分の「ｆｘｙ」と「ｆｙｘ」が同じ値になるときについて

質問

偏微分で
ｆxy（ｘ、ｙ）とｆyx（ｘ、ｙ）が点（a,b)を含むある開集合で
連続であるときｆxy（a、b）＝ｆyx（a、b）といえる。

という定理があるのですが、この解釈のしかたとして

例えばｆxy（ｘ、ｙ）とｆyx（ｘ、ｙ）が
０≦ｘ＜∞かつ０≦ｙ＜∞のような集合(半開集合？)
で連続であるとき、

開集合０＜ｘ＜∞かつ０＜ｙ＜∞、では
ｆxy（ｘ、ｙ）＝ｆyx（ｘ、ｙ）といえるが、

点（０，３）、（０，０）、や（３，０）のような、
集合の境界上ではｆxy（ｘ、ｙ）≠ｆyx（ｘ、ｙ）となる場合もある。

という解釈のしかたでいいのでしょうか？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

非常にうるさく言えば、jackstraw さんの挙げられた定理からは境界線上の fxy(x,y) fyx(x,y) の値については「何らの結論も得られない」ということです。

「fxy(x,y) ≠ fyx(x,y) となる場合もある」という言及自体も一つの結論になっているので注意が必要な場合もあるでしょう。

実際にそのような f(x,y) を挙げよと言われても私は即答できないし、特定の点(0,3)で fxy(0,3)≠fyx(0,3)となる f(x,y) が存在するかもわかりません。

補足

解答ありがとうございます！

それでは、この定理は、
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例えばｆxy（ｘ、ｙ）とｆyx（ｘ、ｙ）が
０≦ｘ＜∞かつ０≦ｙ＜∞のような集合で連続であるとき、

開集合０＜ｘ＜∞かつ０＜ｙ＜∞、では
ｆxy（ｘ、ｙ）＝ｆyx（ｘ、ｙ）といえるが、

点（０，３）、（０，０）、や（３，０）のような、
集合の境界上では“ fxy(x,y)とfyx(x,y)の関係性（等しいか等しくないか）については、何らの結論も得られない”。
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という解釈のしかたでいいのでしょうか？