振り子について

質問

「抵抗を無視すれば紐の長さと錘の重さが等しい振り子はどんな振幅でも同じ周期をとるというのは嘘」というのを見たんですがなぜですか
原理を教えてください

回答No.5

sanori · ベストアンサー

＃１の者です。

＞＞＞
質問の仕方が悪かったです　すみません
抵抗がないのになぜ元の位置の高さまで戻ってこないのでしょうか？

？？？
抵抗が無ければ、元の高さまで戻りますよ。
エネルギー保存の法則によって、錘の運動エネルギーと錘の位置エネルギーとの和が保存されます。

＞＞＞
あともうちょっと簡単に説明してもらえないでしょうか

前回書いた
「振れ幅を大きくすると『θが小さいとき、θ≒sinθ』という前提条件が破綻してしまう」
という説明以上に簡単な説明は無いのですが、
こういうのはどうですか？

下記の図で、振り子が振れる方向の力が、ｍｇsinθ となっていますよね？
三角関数を習い始めた頃のことを思い出してください。
sinθ という値と θ という値の大小関係を ０ ＜ θ ≦ π/2 の範囲で比べてみると、
sinθ ＜ θ
常にθのほうが大きいです。
その差はθが大きくなるほど大きくなります。
↓（ｐｄｆファイルです。）
http://jc.maxwell.jp/mechanics/singlependulum/pdf/single.pdf

よって、
真の復元力 ｍｇsinθ と「嘘」の復元力 ｍｇθ とを比べれば、
真の復元力のほうが、錘の軌跡の全体的に小さくなります。
ですから、振れ幅を大きくするほど周期が延びるというわけです。

説明はともかく現象論として捉えたければ、下記リンクのアニメーションをどうぞ。
http://jc.maxwell.jp/mechanics/singlependulum/index.html
http://jc.maxwell.jp/mechanics/cycloidalpendulum/index.html

お礼

本当にすみません　自分が質問の文章自体を勘違いしてました
周期の話しでした　重りが元の位置まで戻ってくると言うことだと思ってた
こんなバカわざわざ答えていただいてありがとうございます
まあ周期の事実を知ったので良しとしましょう

回答No.4

ht1914

＞抵抗がないのになぜ元の位置の高さまで戻ってこないのでしょうか？
＞抵抗が無ければ永遠に振り続けると書いてますよ

この２つはエネルギー保存の問題です。振り子が単振動であるか否かには関係しません。抵抗がなければ元の位置に戻ってきます。いつまでも振動が続きます。

単振動は＃３のご回答の中にある様に「ズレに比例した復元力が働く場合」に起こる運動です。振幅によらず周期が一定というのは単振動の性質です。振り子では１０°以下ぐらいだと単振動であると見なしていいでしょう。ｓｉｎ１０°＝０．１７３６・・・、１０°をラジアンで表すとθ＝０．１７４５・・・です。１／１７０のずれです。
振り子の糸の長さを長くすると１０°という振幅は結構大きいです。

振り子の振幅が１０°の場合（Ａ）と５°の場合（Ｂ）を比べてみます。円周に沿っての距離は２倍異なります。スタート時の加速度は２倍変わります。最下点での速さも平均の速さも２倍変わります。（スタートの時の角度に対する比率が同じであれば加速度も速度も２倍変わります。）時間は変わらないということになります。

お礼

こうやって数値を実際に当てて頂けると分かりやすいですね
回答ありがとうございます

回答No.3

Goswami

「抵抗を無視すれば」という点にひっかかっているようですが、端的に言うと抵抗を無視しようと、無視しなかろうとふり幅（振幅）が大きくなると周期は一定にならないということです。数式で説明するとANo.1さんのようになります。

　以下の話は抵抗を無視した条件下での話です。

　いわゆる振り子運動とよばれる「一度動くと同じ高さまで同じ周期で必ず戻ってくる運動」というのはふり幅が小さいときにしかおこりません。厳密に言うと、一般的にはそのような運動は起こらず、ふり幅が小さいときに限り単振動（周期的に同じ位置に戻る運動。単純な三角関数、つまりサイン、コサインを用いてあらわされる。）として近似できるというわけです。そして、単振動として近似できるときの周期が紐の長さだけを使った式になるというわけです。単振動として近時できないときは単純な三角関数ではあらわすことの出来ない運動となってしまい、周期は紐の長さや重さだけでなくふり幅にも依存してしまうということです。

　一般常識として「振り子＝単振動」として考えられたり、堂々と記述されていることが多いですが、それは間違いです。ふり幅が小さいときに限り成り立つ関係なのです。

　少しだけ理屈を説明しますと、振り子にはふり幅θのとき-１*sinθに比例した力が働きます。一般的に単振動として物体が振舞うときは変位xにたいして-1*xに比例した力が働くときです。振り子の話に戻せばふり幅θのとき-1*θに比例した力が働けば単振動になるというわけです。数学的にはxが小さいときにx≒sinxがなりたつので、ふり幅θが小さいときには-1*sinθ≒-1*θに比例した力が働くと近似できて、単振動として振舞うと考えられるのです。
このときの周期が2π*(糸の長さ/重力加速度）^0.5として表されるということです。

お礼

回答ありがとうございます
単振動の間だけにこれが成り立つのですね

回答No.2

N64

wikipediaに振り子の原理が書いてあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90
特に、基本原理が、ご参考になると思います。

お礼

回答ありがとうございます　ですがこのページには抵抗が無ければ永遠に振り続けると書いてますよ

回答No.1

sanori

変位と復元力が比例関係（ただし、正負の符号は逆）にあれば、振幅が異なっても同じ周期の単振動になります。

変位は、振れ角θと紐の長さＬとから
変位　＝　Ｌsinθ
となりますが、
単振り子の問題では、
「θが小さいとき、θ≒sinθ」
という近似を使います。
それでもって、
ｄ^2 θ／ｄｔ^2　＝　－定数・Ｌθ
という形の微分方程式になり、これを解けば単振動になります。

つまり、
振れ幅を大きくすると
「θが小さいとき、θ≒sinθ」
という前提条件が破綻してしまうので、「嘘」ということになります。

補足

質問の仕方が悪かったです　すみません
抵抗がないのになぜ元の位置の高さまで戻ってこないのでしょうか？
あともうちょっと簡単に説明してもらえないでしょうか