中学生ぐらいの確率の問題なんですが、混乱しています。

質問

三枚のカードが立っているとします。
そのカードの表面は丸。裏はバツです。
ボールをカードにぶつけるとカードが回って、丸かバツかどちらかで止まります。
1）ボールは必ず三枚の内の一枚のカードに当たるとします。どのカードに当たるかは分かりません。
2）丸またはバツがこちらを向いているカードが2枚有る状態でスタートするとします。
3）ボールを投げて、丸又はバツが揃った段階でクリア出来るとします。
4）ボールは3球投げられるとして、
ゲームをクリアする確率は何パーセントになるでしょうか？

私は50％だとおもうのですが、他からは10％とか15％とかの意見がでてきていて、整理がつかない状態です。
アドバイスお願いします。

回答No.3

metis · ベストアンサー

91/216、およそ42％になると思います。
この問題のポイントは、「全部揃ったら、３回投げて無くてもその段階でクリア」ということになるでしょう。

さて。このゲームは、どんな状態であっても、そこから1投でクリアすることが出来ますね。
なぜなら、未クリアの状態では、○か×何れかが2枚、もう片方が1枚ですので、1枚の方に当てて（1/3）、さらにそれが2枚あるのと同じマークで止まれ（1/2）ばめでたくクリアとなるわけです。

つまり、この問題は、言い換えれば、「３投中、少なくとも１回、ゲームがクリアできるように当たる確率」となるわけです。
さて。授業を思い出して下さい。
「少なくとも～～～の確率を求めよ」という問題、見たことがありませんか？
こういう問題の時は、何を使うんでしたっけ？

回答が出来てみたら、No.1さんの回答と照合してみて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
中学時代の授業を思い出しました。。
数学の授業の時はほとんど、絵をかいて遊んでいた記憶しか残っていません。。
これからでも少し勉強してみます。

回答No.7

mysugisun3

２題目の問題では１投目を投げ後、そのままの状態で２投目を投げるのか、１投目と条件が一緒の「2）丸またはバツがこちらを向いているカードが2枚有る状態でスタートするとします。」が生きた状態で投げるのかで回答は変わることに注意すべきです。各投回のスタートが一緒とかかれるとあくまでもカードの向きが２対１の割合となっている状態であれば答は単純です。
それぞれは独立した状態で行うと言うことなので、確率を足せばよいわけです。
１／６＋１／６＋１／６＝１／２

　前回の問題では「3）ボールを投げて、丸又はバツが揃った段階でクリア出来るとします。」クリアできる＝「終了する」ととった回答方法です。
　1投目２投目３投目が独立するか、関連するかに寄り確率は全く変わった物になりますので、注意が必要になると思います。
　またボーリングの１０フレームの様に独立するか、関連するかが関わるとするとまた結果は変わってしまいす。

お礼

回答ありがとうございます。

なんとか整理がつきそうです。
たすかりました。

回答No.6

k_maisan

>一投目で絵柄がそろっても、二投目はスタートと同じ条件で再度挑戦出来るようになると。当然確率は変わってきますよね
　揃った回数を点数化して平均点をというのであれば、「期待値」という用語を使います。
　その期待値は、質問者の考え通り、(1/3)*(1/2)*3 = 1/2 であっています。
　これは確率でないので、「確率50%」というような扱いはできません。揃う期待値は0.5回とかなら良いでしょう。

　他の方の示している91/216は、揃った時点でゲームを止めるという条件で計算されています。
　こういったものは、No.1さんの示した、揃わない確率を全体(100%)から引くというやり方が上手いやり方です。

お礼

アドバイスありがとうございます。
確率ではなくて、期待値ですか。
勉強になりました。

回答No.5

metis

>一投目で絵柄がそろっても、二投目はスタートと同じ条件で再度挑戦出来るようになると。当然確率は変わってきますよね。
つまり、常にどちらか２枚ともう片方１枚の状態で、３回投げるということですよね。
その場合、３投して３つとも景品がもらえるのは、[1/6]が3回続くことですから、[1/6]^3、1/216となります。（大体0.5%ほど）
景品が2個、1個の場合はまた事情が変わって来ますが…。
（二項定理のようなもの（正式名称は失念しましたが）を使う必要があります）

お礼

済みません、、補足の欄にお礼を書いてしまいました。

ありがとうございました。

補足

アドバイスありがとうございます。
ようやく分かってきました。。

回答No.4

mysugisun3

1、３の人の正解をもっと簡単に説明すると、
３このうち１個が反転していると言うことは、反転している１個が反転して他の２個とそろえば良い。だから１投目でそろう確率は
１／３Ｘ１／２＝１／６
２投目でそろう確率は１投目でそろわなかった物（すべて２対１個の割合となっている。）５／６に対して、再度１／３Ｘ１／２＝１／６の確率でそろうこととなる。すなわち
５／６Ｘ１／３Ｘ１／２＝５／３６
３投目でそろう確率は前回の残り５／６－５／３６＝２５／３６に対して、上記同様１／３Ｘ１／２＝１／６の確率でそろうので、
２５／３６Ｘ１／３Ｘ１／２＝２５／２１６
合計すれば
１／６＋５／３６＋２５／２１６＝９１／２１６

お礼

ご回答ありがとうございます。

皆さんのアドバイスで少し分かりかけてきました。
ボールを三回投げてクリアという条件が少し変わって、
ボールを投げて絵柄が揃うと景品がもらえるという内容で、
一投目で絵柄がそろっても、二投目はスタートと同じ条件で再度挑戦出来るようになると。当然確率は変わってきますよね。
三投して、景品を三つもらえる可能性もありとすると、
1/3　*　1/2　*　3　=1/2　でいいのでしょうか？
なんども済みません。

回答No.2

noname#81629

○○×⇒○○○
一球目が×に当たる確立1/3
×が○になる確立1/2

＝1/6

16.7％では？

お礼

ご回答ありがとうございます。
ボールを投げるのが3回なので
1/6　から数字がもう少しややこしくなるようです。

回答No.1

rabbit_cat

1-(1-1/3*1/2)^3 = 42% ？

お礼

早速の回答ありがとうございます。
42％ですか。。
じっくり計算してみます。