もう１人が男である確率

質問

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

回答No.19

nidonen

> 数学の詳しい記述は私にとって難解ですがどうやら３分の２が正解のようです。

　すいません。こちらにまでしゃしゃり出てきて申し訳ないのですが、
fool_ish さんが説明された「 前者のような条件Aの下で，条件付
確率は2/3であり 」というのは、あきらかに命題の取り違えです。

　その２/３というのは、「 その２人が姉妹ではない確率 」に過ぎず、
「 もう片方が男である確率 」とは明らかに異なります。この違いは
「 2人のうち少なくとも1人は女の子 」の解釈には無関係です。

　よってこれは純粋に数学の問題であり、質問の意図を読み違えて
いるに過ぎません。

　あと、＃１９ の stomachman が指摘されている「 女を目撃したって
ことは、それがCASE1である確率がCASE2である確率やCASE3で
ある確率より2倍大きい、という事を忘れている 」というのは、
シンプルかつとても説得力のあるご説明で、嬉しく思います。

　stomachman、および Ishiwara さんご指摘の「ベイズの定理」が
私の説明が拙いところを、実にうまく補ってくださっています。
お二人に感謝します。

お礼

結論を出すには早すぎたみたいですね。
すみません。
再度の回答ありがとうございます。

回答No.18

stomachman

「あのタレントに隠し子が二人いる」というだけの情報から、隠し子は
CASE 1 第一子　女、第二子 女
CASE 2 第一子　女、第二子 男
CASE 3 第一子　男、第二子 女
CASE 4 第一子　男、第二子 男
この4つのCASEが同じ確率で生じると仮定できましょう。

　で、二人の子のうちの一方を、偶然にも記者が見てしまった。それは女である！　だから「二人のうち少なくとも1人は女の子」だと分かった。

　でもそれだけしか情報がないのだから、記者が見たのは誰かというと、
CASE1の第一子。（だからもう一方の子はCASE1の第二子）
CASE1の第二子。（だからもう一方の子はCASE1の第一子）
CASE2の第一子。（だからもう一方の子はCASE2の第二子）
CASE3の第二子。（だからもう一方の子はCASE3の第一子）
この４通りが同じ確率を持っている。
　従って、もう一方の子は
女である確率が1/2
男である確率が1/2
です。

　つまり、雑誌の回答は女二人である場合(CASE1)に比べて、男女一人ずつ(CASE2,3)の確率の方が2倍大きいという点に着目している。それは結構なんだけれども、女を目撃したってことは、それがCASE1である確率がCASE2である確率やCASE3である確率より2倍大きい、という事を忘れている。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
もし、
「3世帯しかないアパートの各世帯にそれぞれ
女二人
男女一人ずつ
男二人
が住んでいるが、どの部屋がどれだかはわからない。試しに一つの部屋を訪問したら女が応対した。じゃあその部屋のもう一方の住人は男か女か。」
という問題であれば、女である確率が2/3、男である確率が1/3になります。応対に出て来た女がこのアパートにいる３人の女のうちのどれであるかは、どれも確率1/3だからです。（でもご質問の雑誌なら、「男女ともに確率1/2」と答えそうですね。）

　一方、ご質問の場合は
「4世帯しかないアパートの各世帯にそれぞれ
女二人
男女一人ずつ
男女一人ずつ
男二人
が住んでいるが、どの部屋がどれだかはわからない。試しに一つの部屋を訪問したら女が応対した。じゃあその部屋のもう一方の住人は男か女か。」
という問題と同じですね。応対に出て来た女がこのアパートにいる4人の女のうちのどれであるかは、どれも確率1/4です。

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　モンテカルロ法でシミュレーションしてみるのなら、

1. 第一子と第二子の性別を確率1/2でランダムに決める。
2. 第一子と第二子のうち、どちらを記者が目撃するかを確率1/2でランダムに決める。
3. 記者が目撃した子が男である場合は捨てて、それが女であった場合についてだけ、もう一方が男であった頻度と、もう一方が女であった頻度を調べる。

という風にやればいいでしょう。

お礼

ちょっと私には難解ですね。
回答ありがとうございます。

回答No.17

fool_ish

回答が割れる原因は1つである．それは，
> １人は女の子。
という表現を，
A：2人のうち少なくとも1人は女の子
と採るのか，それとも
C：問題文には書かれていないが，特定の1人を選んで性別を調べたら女であった
と採るのかの違いである．
前者のような条件Aの下で，条件付確率は2/3であり，
後者のような条件Cの下では1/2であることは，すでに#8で証明した．

いま，雑誌の解答は前者の立場をとり，
#8で書いたように，回答#1および#7への補足から，質問者が求めているのは前者の立場の回答であることが分かる．
これに対して，#10氏以降，確率が1/2であると主張している方々は，
すべて条件Cの立場を採っている．

もし，Aのように読むが，なお確率は1/2である，と主張したい方がいれば，
まず問題を正確に定式化し，その上で回答を行わねばならない．
他の回答者は，問題をきちんと定式化するという作業を怠っておられる．

なお，AとCのうちどちらを採るべきか，という問題は，一意な答えが出ない．
一般的に言って，「5人のうち1人は男である」と，
「5人全員が女，ではない」は同値であるとするのが自然であろうとは思うが，
かと言って，Cのように読んではいけない，と言い切る理由をもたない．

しかし，補足にあるように質問者の意図はAを採る立場であるし，
そもそも明確な答えのある問題ではないと考えるから，
「AとCのうちどちらを採るべきか」という点については議論すべきでない，と私は考える．
それはもはや数学の問題ではなく，どちらが自然かというアンケートであるから．

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃる通り私の知りたいことは「この設問の文章の意図を議論すること」ではありません。
繰り替えしになりますが前提は「２人のうち少なくともどちらかは女」です。
この大前提を踏まえたうえでの真実を探す議論をお願いします。

補足

前提は「A：2人のうち少なくとも1人は女の子」です。
この意味合いを表すために「タレントの隠し子発覚！」という表現を使ったと思います。
タレントの隠し子が２人いることが発覚し、その後そのうちの少なくとも１人は女であることが判明したわけです。
そもそも特定の１人（例えば上の子）が女という前提なら当たり前すぎて問題にはならないでしょう。
数学の詳しい記述は私にとって難解ですがどうやら３分の２が正解のようです。

回答No.16

nidonen

別のスレで、同様の質問に「 確率は１/２ 」とお答えしている者です。
私の考えでは、＃８ さんが説明されている「 ２/３ 」という答えは、
あくまで「 組み合わせが異性になる確率 」であり、「 もう片方が男
である確率 」とは似て異なるものだと認識しております。

　正解は、＃１０さんが説明された「 ベイズの定理 」で完璧に
証明されると思うのですが、＃１０さんのように数学の知識を
お持ちの方から見て、＃８さんの説明はどのように覆したら
いいのでしょうか？

　要は「 もう片方の性別は何か？ 」という命題にちゃんと
答えるか、命題を取り違えるかの違いだとは分かっているの
ですが、数学的にうまく説明する方法を知りたいです。

お礼

こちらに来ていただいてありがとうございます。
nidonenさんが納得する説明と解答が明らかになると私としても嬉しいです。

回答No.15

Ishiwara

＃１０,１３です
＃１４さん
> このやり方は間違っているでしょうか
正しいやり方ですよ。これは、モンテカルロ法といって、解析的に答が得られないときに近似値を得るための由緒ある方法です。ただし、本件の場合は、解析的に得られる部類に入りますから、モンテカルロの出番ではないのですが‥。

お礼

そうですね。
その名称は知りませんでしたができればシンプルな方法で解答を導きたいです。
再度の回答ありがとうございます。

回答No.14

momochu

>すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
>となりすでに１人は女なので可能性があるのは
>１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。
とありますが、
３も消えるので、組み合わせは１.女・女　２.女・男

なぜ、３が消えるかというと、最初に女だからです。
生まれた順番はわかりませんので、男女が判明した順番と思ってください。
最初に判明したのは女ですので、３、４はありえないということです。
もちろん#3の方のように出生比を考慮しなければ、確率は半々です。間違いないです。

最初に判明したのが男だろうが女だろうが、次に判明する子供の性別には何の影響も与えません。もちろん数学として考えた場合です。
生物学的に考えるとわかりませんが、雑誌の理由を見れば数学的な考えですよね。

お礼

最初に判明した女が「２人の子供のどちらか」はわからないんですよ。
ですから３も残るような気がするのですが・・
回答ありがとうございました。

回答No.13

TTOS

申し訳ありません。この手の問題がどうもよくわからないのですが，エクセルで次の２，３それぞれ６０００組の隠し子についてシミュレートしてみました。

１．列A,列Bに乱数で１または０を書き込む。１を女，０を男とする
２．列Aが１のとき列Bが１か０か確率を調べる→確率1/2.04497245618013≒１／２
３．列Aが１のとき列Bが１か０か調べ，列Bが１のとき列Aが１か０かを調べる→確率1/2.00570305476207≒１／２

答え
AB２人の子供がいる。Aが女のときBが男の確率→１／２
AB２人の子供がいる。AまたはBが女のときもう一方が男の確率→１／２

このやりかたは間違っているのでしょうか。

お礼

ちょっと私にはよくわかりません。
回答ありがとうございます。

回答No.12

hiccup

>> 「コインを２回投げたとき、１回は“表”が出たとき、もう１回は“表”か“裏”か？」
>> という設問によみかえると

>> C.確立は半々
>> という答えが出ます

半々じゃないような ...

お礼

はい、それは特定の子供が女と考えた場合ですね。
回答ありがとうございます。

回答No.11

doubleimpact

「コインを２回投げたとき、１回は“表”が出たとき、もう１回は“表”か“裏”か？」
という設問によみかえると

C.確立は半々
という答えが出ます

しかし、　
「子供が双子だった場合」
を考えると
B.女
となります

一卵性双生児の場合、「遺伝子が同じ」ですから、同性になります
（この場合、女性）

いずれにしても、
A.男
という答えはあり得ません

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.10

Ishiwara

Ｃ：確率は半々、が正解です。
キーワードは「ベイズの定理」です。
第１子－第２子
－女－－－女－
－女－－－男－
－男－－－女－
－男－－－男－
から、あなたに１人の子の性別を「明かす」とき、それが女である場合の数は３ではなく４です。上の表に「女」は４つありますから。
したがって、残りの子は「４の場合のうち」２つの場合が男です。

お礼

４つのうち２つと果たして考えていいのでしょうか？
そのうち２つは同じでは？
回答ありがとうございます。