運動エネルギーの求め方について(積分）

質問

仕事から運動エネルギーを積分を用いて求めると、教科書では

Ｗ　＝∫Fcosθdl　
（ｌ(エル)は距離、FcosθはベクトルＦのｌ(エル)の成分とする）
＝∫m(acosθ)dl　 （aは加速度、ｍは物体の質量）
＝∫m(acosθ)dl　　
＝∫m(dv/dt)dl　　　　（dv/dt = acosθ）
＝∫m v* (dv/dl)dl
（dv/dt = (dv/dl)*(dl/dt) = (dv/dl)*v = v* (dv/dl)）
＝∫mv dv

このようにして運動エネルギーの式
(1/2)m(後の速度)^2 －(1/2)m(始めの速度)^2を
導き出しているのですが、

上の式で（dv/dt = acosθ）こうなることが納得できません、
私は（d(vcosθ) /dt = acosθ）もしくは、（dv/dt = a）にしなくてはならないと思うですが、そしたらどちらの場合も最後までcosθが残ってしまい、
(1/2)m(後の速度)^2 －(1/2)m(始めの速度)^2の形になりませんでした。

（dv/dt = acosθ）の考え方について教えてください。この考え方はあっているのでしょうか？

回答No.1

ht1914 · ベストアンサー

この教科書は普通と違う書き方をしていますね。

この式で出てきたｃｏｓθはベクトルの内積から出てきたものです。成分と言っても構いませんが使われた文字がベクトルであるか、スカラーかが混乱すると訳が分からなくなります。運動エネルギーを仕事から導く場合、移動経路は直線であるとは限りません。θも位置によって変わります。そのθをのけてスカラーでｄｖ／ｄｔ＝ｄｖ／ｄｌ＊ｄｌ／ｄｔとしたところでおかしくなっています。記号「＊」もかけ算なのか、内積なのかが混乱しています。
ｖ＊ｄｖ／ｄｔ、ｖｄｖは内積のはずです。だからｃｏｓθが出たり入ったりしているのです。

普通は位置も速度もすべて時間の関数として考えます。時間はスカラーですからｄｌ（→）＝ｄｌ（→）／ｄｔ・ｄｔとできます。
ベクトル記号が書けませんのでＦ（→）でベクトルを表します。
「＊」はベクトルの内積を、「・」は普通のかけ算とします。

∫Ｆ（→）＊ｄｌ（→）＝∫ｍａ（→）＊ｄｌ（→）／ｄｔ・ｄｔ
＝ｍ∫ｄｖ（→）／ｄｔ＊ｖ（→）・ｄｔ
＝（ｍ／２）∫ｄ（ｖ（→）＾２）／ｄｔ・ｄｔ
＝（ｍ／２）∫ｄ（ｖ（→）＾２）
＝（ｍ／２）［（ｖ（→）＾２）終わり－（ｖ（→）＾２）始め］

ｖ（→）＾２＝ｖ＾２ですから運動エネルギーの表現が出てきます。

回答No.4

mazimekko3

＝∫m(acosθ)dl　　
＝∫m(dv/dt)dl　　　　（dv/dt = acosθ）

ここの変換がおかしいですね。
正しくは下の通りだと、

＝∫m(acosθ)dl　　
＝∫m(dv/dt)・dl　　内積

ついでに別の証明方法

仕事の定義dW=F・dl

運動方程式F=maの両辺にdlを内積して

F・dr=ma・dl=dW

a=dv/dt,dl=vdtより
ma・dl=mdv/dt・vdt

数学公式d(f^2)/dx=2f'・fより
mdv/dt・vdt=md(v^2)/2=dW

両辺を[t1→t2]で時間積分して
W(t2)-W(t1)=mv(t2)^2/2-mv(t1)^2/2

左辺は仕事の変化、つまり外部から加えた力と等しいので
W=mv(t2)^2/2-mv(t1)^2/2

ってな感じで証明してみました。文中のW,mを除く量は全てベクトルです。
また(t)は時刻tの値、つまり関数です。

ht1914さん> 運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少に等しいという関係は運動の径路によらずに成り立つものです。

嘘を教えないように。
運動エネルギーの増加は必ずしも位置エネルギーの減少とは等しくありません。
仕事は線積分ですので積分経路に依存します。
U(r)≡-∫Fdr[基準→r]
ですので、位置エネルギーは位置のみに依存した力でないと定義できません。
重力は位置のみに依存するので積分経路によらず、位置エネルギーは運動エネルギーに変換されますが、例外のほうですので。

回答No.3

ht1914

＃１です。
＞作用力Ｆがただ一つの場合には質点はＦの方向にしか動きませんから常に cosθ＝１になります。ところが複数の力が働いているときには力の方向に質点が動くとは限らないので、

（１）これはおかしいです。
重力の働いている空間の中での運動を考えてみると分かります。
運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少に等しいという関係は運動の径路によらずに成り立つものです。重力の方向の運動にしか使うことが出来なければ有用さはそれほどではなくなります。

（２）質問はｃｏｓθが出てくる理由を訊いているのではありません。一度出てきたｃｏｓθがなぜ消えてしまったかを訊いています。ｃｏｓθ＝１で消えたのではありません。

（３）ｄｖ／ｄｔ＝ａｃｏｓθ　は間違っています。

回答No.2

Willyt

これは確かに紛らわしいですね。加速度ａについて何も説明していないからです。作用力Ｆがただ一つの場合には質点はＦの方向にしか動きませんから常に cosθ＝１になります。ところが複数の力が働いているときには力の方向に質点が動くとは限らないので、仕事はＦの移動方向成分と移動距離 dl をかけたものが仕事になります。だからcosθが必要になって来るのです。