運動エネルギーは何故…。

質問

運動エネルギーは何故（1/2）m（v^2）なのですか？

回答No.6

ruehas · ベストアンサー

こんにちは。
＃３です。
回答をした手前、昨夜から気になっていたのですが、もしかしたら、何故「１／２」なのかというのが質問の主旨なのでしょうか？　追加回答ですし、既にたいへん専門的な回答も寄せられていますので蛇足になるかも知れませんが、質問の方にも不明瞭な部分がありますから、その辺りはカンベンして下さいネ。

運動エネルギーの式に「１／２」が入っているのは＃３で申し上げた通り、質点の移動距離を示す式がそのようになっているからです。では、どうして距離が「１／２」なのかということになりますが、それでしたら極めて単純な解釈の方法があります。

二階の屋根から空気抵抗を無視してボールを落とします。このとき落下するボールに得られる加速度は、地球表面では「ｇ＝９．８ｍ／ｓ＾２」と決まっていますよね。
自由落下する質点の速度「Ｖ」は、落下加速度「ｇ」と時間「ｔ」の積「Ｖ＝ｇ・ｔ」ですから、手を放してから１秒後のボールの速度は「９．８ｍ／ｓ」です。ですが、距離「Ｘ」を表す式には「１／２」が入っています。「Ｘ＝１／２・ｇ・ｔ＾２」ですから、ボールは１秒間に「４．９ｍ」しか落下しません。

等速運動であればボールには最初から９．８ｍ／ｓの速度が与えられているわけですから、１秒間に移動する距離は９．８ｍです。ですが、この場合は最初の状態が速度「０」の加速度運動です。ボールは停止した状態から１秒の時間を掛けて速度を９．８ｍ／ｓに上げるわけですから、１秒間のボールの落下速度は「初速度＝０ｍ／ｓ」と「１秒後の速度＝９．８ｍ／ｓ」との平均ということになります。つまり、ボールは「平均速度＝４．９ｍ／ｓ」で１秒間落下したことになります。

加速度運動では、速度は時間に従って変化します。
落下加速度運動に於ける任意の時間内の速度の変化量「ΔＶ」は「ΔＶ＝ｇ・ｔ」で表され、その平均値は「初期変化量」と「ｔ秒後の変化量」によって求められます。変化量ですから、その時点での速度が何ｍ/ｓであっても、初期変化量は必ず「０」です。従って、変化量の平均値は「初期変化量＝０」と「ｔ秒後の変化量＝ｇ・ｔ」の、常に２地点の値の平均であり、平均変化量「ΔＶａ」は「ΔＶａ＝（０＋ｇ・ｔ）／２」となり「ΔＶａ＝１／２・ｇ・ｔ」となります。
距離「Ｘ」は速度と時間の積「Ｘ＝Ｖ・ｔ」ですから、ここに平均変化量「ΔＶａ」を代入しますと、

Ｘ＝ΔＶａ・ｔ
Ｘ＝１／２・ｇ・ｔ・ｔ
Ｘ＝１／２・ｇ・ｔ＾２

となり、これは平均値をどんなに細かな時間で幾つ取っても結果が変わることはありません。現実的には、質点は既存の速度を持っていますから、それは「初速度」として一緒に代入してやれば良いだけの話で、その場合には「Ｘ＝１／２・ｇ・ｔ＾２＋初速度・ｔ」となります。

＃３で申し上げた通り、「仕事」は、力「Ｆ」を生み出す加速度によって質点を移動させることのできる距離で表されます。一定の時間内を移動する速度は、何処を取っても２地点の変化量の平均値を反映します。ですから、如何なるエネルギーを持ってしても、その加速度が示す値の「１／２」の距離しか質点を動かすことはできないわけです。

回答No.7

ichiro0000

物体ｍの落下について考えて見ましょう。
エネルギー保存の法則によると、位置エネルギーと運動エネルギーだけを考えた場合、

ｍｇｘ＋（１／２）ｍｖ＾２＝一定

という式が成り立ちます。ここでｘというのは高さ、ｇというのは重力加速度を表します。この式の両辺を時間ｔで微分すると

ｄ／ｄｔ（ｍｇｘ＋（１／２）ｍｖ＾２）＝０

速度ｖ＝ｄｘ／ｄｔより

ｍｇｖ＋（１／２）ｍ・ｄｖ＾２／ｄｔ＝０
ｍｇｖ＋ｍｖ・ｄｖ／ｄｔ＝０
ｍｇ＋ｍ・ｄｖ／ｄｔ＝０

加速度ａ＝ｄｖ／ｄｔより

ｍｇ＋ｍａ＝０

ここで物体ｍに加わる力はＦ＝－ｍｇとなるので

Ｆ＝ｍａ

となり、よく知られているニュートンの運動方程式に辿り着く。これを逆に辿って行けばエネルギー保存則が導かれ、運動エネルギーが（1/2）m（v^2）となる背景が少しはご理解いただけるのではないでしょうか。

回答No.5

Teleskope

>>運動エネルギーは何故（1/2）m（v^2）なのですか？

　<#>並みの学生からは出るはずのない文言なので釣りかな?と深読みも…</#>

(1/2)が付いた訳；
・産業革命の黎明期。当時最新鋭のハイテクであった蒸気機関の『動力を表す尺度』として、技術者たちは経験的に、一定の高さから落下させる重量で表していた。デューティ（duty；義務的な仕事）と言った。
・いっぽう学者は；動いてる物の『活力』とは何かを追求したライプニッツとその後継者が「それはmv^2なる量である」と結論した。宿敵であるニュートン主義者は「ニュートン力学での保存料mvを真似したものに過ぎない」として論争した。エネルギの概念が無い時代であった。
・技術の発達と共に技術者たちは自分等の『動力の尺度』と等価なものはmvでなくmv^2の方であることを経験事実として知った。現在の知識で見れば滑車や台車を使った高校の理科実験程度のことであるが。彼等は自分等の慣用単位「デューティ」でmv^2を測った。現在の表現で書けばmghを単位としてmv^2を測った。ここから係数 1/2が始まった。この重量単位系はエンジンの商取引に使われ（定義としてハズしてなかった）社会的に通用して学者の論争は低レベルな痛み分けに終わった。　後世の単位系も「仕事は力×距離である」と蒸気機関職人の「重さ×高さ」から一歩も進歩してないので 1/2は先祖の守護霊のように付いてまわってる。
・その後はランキンの「仕事は相互転換できる論en-ergo-tics」、クラウジウス「energyは不変である」、アィンシュタィン「energy保存は質量も含まれるぞ」と続く。
・特殊相対論的には、E^2-ｐ^2c^2=(mc^2)^2を、運動量ｐがごく小さいとして近似展開した
E=mｃ^2+(1/2)ｐ^2/m+…　すなわち√が(1/2)の出自だｗ　これも当然蒸気機関職人の掌中である。
・なお、エネルギは測定する座標によって値は変わるが座標を変えなければ不変である。光速不変原理や質量保存則とはここが違う保存則である。

回答No.4

keyguy

一部訂正したものを削除されてしまいました。
再送します。

運動エネルギーは便宜的なものであり本質的なのもではないのです。
（本質はニュートンの第２，第３法則のみ。）
同じようにポインティングベクタの考察による電磁エネルギーがありますがあれも便宜的なものです。
（本質はマックスウェルの方程式のみ。）

ｆが時間に関係なくｒｏｔ（ｆ）＝０が成立するならば
（・，・）を内積として
Ｈ＝∫（ｒ：ｒ→ｒ０）（ｆ（ｒ），ｄｒ）
によって位置エネルギーを定義し
Ｍ＝ｍ・｜ｄｒ／（ｄｔ）｜＾２／２
によって運動エネルギーを定義すれば
質点の運動方程式ｆ＝ｍ・ｄ＾２（ｒ）／（ｄｔ）＾２は
（ｆ，ｄｒ／（ｄｔ））＝ｄ（ｍ・（ｒ，ｒ）／２）／（ｄｔ）
となりこの両辺を積分して
－Ｈ＋Ｃ＝ＭすなわちＨ＋Ｍ＝一定
となる。
よって力学的エネルギー保存の法則が成り立つからです。

回答No.3

ruehas

こんにちは。
力「Ｆ」は、質量「ｍ」と加速度「ａ」の積ですから、「Ｆ＝ｍａ」ですね。
加速度「ａ」は速度「Ｖ」を時間で微分したものですから「ａ＝Ｖ／ｔ」となり、前記の式にこれを代入すると、

（１）Ｆ＝ｍ・Ｖ／ｔ

という式が出来上がります。
次ぎに、加速度「ａ」によって「ｔ」秒間に質点が移動する距離は「Ｘ」は、「Ｘ＝１／２・ａ・ｔ＾２」によって表されます。先と同様に、これに加速度「ａ」の式を代入すると下記になります。

（２）Ｘ＝１／２・Ｖ／ｔ・ｔ＾２

さて、任意の加速度「ａ」によって単位時間当りに起こる質点の距離の移動を「仕事」と定義します。ですから、仕事「ＦＸ」は、式(１)と式(２)の積によって表されます。ふたつの式を全部繋げると、

ＦＸ＝ｍ・Ｖ／ｔ・１／２・Ｖ／ｔ・ｔ＾２

となり、これを整理すると時間「ｔ」が消えて、

ＦＸ＝１／２・ｍ・Ｖ＾２

となり、「仕事＝エネルギーの増加」という、エネルギー保存の法則が成立します。

回答No.2

KENZOU

初等的に考えてみましょう。その前にちょっと復習すると
＜エネルギー＞
ある物体に仕事をすることができる状態にあることをエネルギーをもっていると言いますね。ある物体に力Ｆを作用し、その結果距離ｘ動いた場合の仕事をＷとするとＦとｘの内積がＷとなりますね。このＷがエネルギーと呼ばれます。
Ｗ＝Ｆ・ｘ　　(1)　　（Ｆ，ｘはベクトル量）

＜運動エネルギーの表式＞
運動エネルギーは動いている物体がもつエネルギーのことですね。今、質量ｍ、速度ｖの台車Ａが水平線上(ｘ軸）を動いており、同軸上にある箱Ｂに衝突し、Ｂを押し出して最後に静止したとします。このとき、台車Ａが箱Ｂに対してどれだけ仕事をしたか、その仕事量が物体Ａの運動エネルギーとなります。物体Ａの運動方程式は、箱Ｂに衝突したとき、運動方向と反対の力（動摩擦力）を受けますのでニュートンの運動方程式は
ｍd^2/dx^2＝－F　　(1)
これから加速度は
d^2x/dt^2＝－Ｆ/ｍ　　(2)
これを時間で積分して衝突後の時刻ｔでの速度(ｖ(t))を求めると、
ｖ(t)＝ｖ－Ｆｔ/ｍ　　(3)
となります。
また台車Ａ(箱Ｂ）の進んだ距離は(3)の微分方程式を解いて
ｘ＝ｖｔ－(1/2)(Ｆ/ｍ)t^2　　(4)
台車Ａ（箱Ｂ）が止まるまでの時間(ts)は(3)でｖ(t)＝０として求められますから
ts＝ｖｍ/Ｆ　　(5)
この間にＡ(Ｂ)の進む距離をｄとしますと(5)を(4)に入れて
ｘ＝ｖ^2ｍ/Ｆ-(1/2)(F/ｍ)(ｖｍ/Ｆ)^2
　＝(1/2Ｆ)ｖ^2ｍ　　(6)
さて、台車Ａは力(－Ｆ)を受けて距離ｘまで動いた（逆にいうと箱Ｂは台車Ａから反作用力Ｆを受けてを距離ｘまで動かされた）のですから、台車Ａが箱Ｂにした仕事Ｗは
Ｗ＝Ｆ・ｘ＝(1/2)ｍｖ^2　(6)
となって、台車Ａの運動エネルギーが求まりました。ご質問の答えがでていますね。
ごたごた書きましたが、参考ＵＲＬのほうが分かりやすいかも(笑い）

参考URL：

http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50319/e-undou.htm

回答No.1

keyguy

運動エネルギーは便宜的なものであり本質的なのもではないのです。
ｆが時間に関係なくｒｏｔ（ｆ）＝０が成立するならば
（・，・）を内積として
Ｈ＝∫（ｒ：ｒ→ｒ０）（ｆ（ｒ），ｄｒ）
によって位置エネルギーが定義し
Ｍ＝ｍ・｜ｄｒ／（ｄｔ）｜＾２／２
によって運動エネルギーを定義すれば
質点の運動方程式ｆ＝ｍ・ｄ＾２（ｒ）／（ｄｔ）＾２は
（ｆ，ｄｒ）＝ｄ（ｍ・（ｒ，ｒ）／２）／（ｄｔ）
となりこの両辺を積分して
－Ｈ＋Ｃ＝ＭすなわちＨ＋Ｍ＝一定
となる。
よって力学的エネルギー保存の法則が成り立つからです。