三角関数

質問

0≦「x<360のとき
2sinx≦tanx

公式tanx=sinx/cosx
より
sinx=tanxcosxを代入して

2tanxcosx≦tanx
から
tanxで割ろうとしたら駄目らしいのですが、どうしてですか？
理由を教えてください。

回答No.4

postro

両辺を何かで割るときは必ずそれが０でないことを確認する必要があります。
もし割るものが０になる可能性があるときはその可能性を別に考えなければなりません。
また、不等式の両辺を何かで割る場合は、０かどうかはもちろんのこと、正か負かも考慮しなくてはなりません。
（正か負かで不等号の向きが変わってしまうので）
全然美しくない解答ですが、泥臭くやると以下のようになります。
2sinx≦tanx　（この式からx≠90 ,x≠270 がいえます。この値でtanxは定義されないから）
公式tanx=sinx/cosxより
2tanxcosx≦tanx
ここで両辺をtanxで割りたいが、これが０ではまずい。これが０になるのはx=0 ,180 のとき。
ところでx=0 ,180 のときは割り算しなくても与えられた不等式は成り立つことがわかる。以下x≠90 ,x≠270 ,x≠0 ,x≠180 とする。
いよいよ両辺をtanxで割りたいが、まずこれが正のときを考えよう。これが正のときとはすなわちxが第一象限または第三象限にあるとき。
すなわち　0＜x＜90　または　180＜x＜270　のとき
このときはtanxで割っても不等号の向きはかわらないので
2cosx≦1 すなわち　cosx≦1/2
0＜x＜90　または　180＜x＜270　の条件のもとに　cosx≦1/2 が成り立つのは
60≦x＜90　または　180＜x＜270　である。
次にtanxが負のときとはすなわちxが第二象限または第四象限にあるとき。
すなわち　90＜x＜180　または　270＜x＜360　のとき
このときはtanxで割ると不等号の向きが変わるので
2cosx≧1 すなわち　cosx≧1/2
90＜x＜180　または　270＜x＜360　の条件のもとに　cosx≧1/2 が成り立つのは
300≦x＜360　である。
以上を総合して、求めるxの範囲は
x=0 ,60≦x＜90　,180≦x＜270　,300≦x＜360

回答No.3

springside

1.tanxで割ってだめな理由
　tanx=0になる部分を排除していないから

2.tanxで割ってもいいが、注意深さが不足している理由
　tanx<0になる場合、不等号の向きが変わるが、それを考慮していないから。

三角関数の不等式でtanxが含まれている場合は、sinx/cosxに置き換えて、tanxをなくしてしまった方が分かりやすいです。

2sinx≦tanx
2sinx≦sinx/cosx
2sinx・cos^2x≦sinx・cosx　（※1）
sinxcosx・(2cosx-1)≦0
sin2x・(2cosx-1)≦0　（※2）

よって、
　sin2x≦0, 2cosx-1≧0
　　　または
　sin2x≧0, 2cosx-1≦0
を解く。

※1：両辺にcos^2xを掛けた。cos^2x≧0なので、不等号の向きは変わらない。
※2：公式sin2x=2sinx・cosxを使った。

回答No.2

Mayday_Mayday

0≦x<360
この範囲だと、tanxがゼロのときは割れませんし、マイナスのときは、不等号の向きを変えないといけないからだと思います。tanxで割っても、例えば、x=150度のときは、
2tanxcosx≦tanx
2cosx≦1
↑これは成り立つけど、
2sinx≦tanx
↑元の式のほうは成り立ちませんよね。

回答No.1

gknxy

sinxがx=0とπで０になるからだとおもいます。