フレネル回折について

質問

フレネル領域として近似できる条件として
z^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2
z：開口と観測面の距離、λ：波長、(x、y)：開口上の座標、(u,v)：観測面の座標
という条件があるようなのですが、実際に開口の大きさ（直径）が1cmだとしたらどのくらいの距離になるのでしょうか？観測面上の座標(u,v)をどのように置いたらいいのか分からなくて悩んでおります。距離の計算過程も教えていただけないでしょうか？

回答No.2

inara

補足です。
最初の回答にある「近接領域」というのは私の造語です。フレネル領域は別名、近傍領域と言うので、それより近いという意味でつけました。

>ただ、{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ～ D^4/(8w^3 ) のように近似していいものか悩むところでもあります。。

手持ちのテキストにはこの領域のことは書いてありませんでしたので間違っているかもしれません。もしこの問題がレポートか何かなら、ちゃんと調べてみてください。

>フレネル近似はフラウンホーファー近似を厳密化したしたものですから、フランウンホーファ領域を含んいると思います。

確かに、フレネルはフラウンホーファーの式を厳密化したものなので、式的にはフラウンホーファーを含んでいますね。ただ、テキストの図では、実線で３つのゾーンにはっきり分けて描かれています（問題の近接ゾーンは斜線になっていて名前が何も書かれていません）。

回答No.1

inara

手元の参考書によると、開口面（１辺がDの正方形）からの距離をzとしたとき
フレネル領域：z<D^2/λ
フラウンホーファ領域：D^2/λ<z
となっています。問題は円開口のようですが、オーダは同じだと思いますので、D=1cm、λ=630nm（赤色）ならばz=158.7mが境界となります。

conv2006さんの表記では開口面が(x,y)、観測面が(u,v)となっているので、以下、それに合わせます。開口内の１点(x0,y0,0)と観測点(u,v,w)との距離 r が回折像の式の中に出てくるのですが、それを多項式で近似したときに、何次までとるかでフレネル領域とフラウンホーファ領域に分けられます。

r = √{w^2+(x0-u)^2+(y0-v)^2}
= w√[1+{(x0-u)^2+(y0-v)^2}/w^2]
= w + {(x0-u)^2+(y0-v)^2}/(2w) - {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3) + ...
= w + (u^2+v^2)/(2w) - (x0u+y0v)/w + (x0^2+y0^2)/(2w) - {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3) + ... --- (1)

式(1)の第3項までとったのがフラウンホーファ近似、第4項までとったのがフレネル近似です。どっちをとるかは第4項 (x0^2+y0^2)/(2w) の大きさにより、テキストによると

(x0^2+y0^2)/(2w) = π/k = λ/2

を境目としているようです。１辺の長さがDの正方形の開口の場合に計算すると、 w = D^2/λのときに上式が成り立つとのことです。

conv2006さんのは「z^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2」を条件としていますが、これは式(1)の第5項が<<1という条件に相当すると思います。これはフレネル近似すら使えない近接領域ですね（そうか、conv2006さんが知りたいのは近接領域とフレネル領域の境界ですね）。上と同じように計算して、D^2 ～ {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2と近似すれば、

{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ～ D^4/(8w^3 ) = λ/2
w^3 = D^4/(4λ)

となるのではないでしょうか？最初と同様に、D = 1cm、λ = 630nm（赤色）で計算すると、w = 0.158mとなりました。したがってフレネル近似できるフレネル領域は、D = 1cm、λ = 630nm（赤色）ならば、0.158 m< w <158.7m になるのでしょうかね。以上はあくまで正方形開口の場合（円開口なら、円筒座標系を使うはずですが、なぜ(x,y,z)なのですか？）

【参考文献】 飯塚啓吾「光工学」（共立出版）pp. 37-39

お礼

早速の詳しいご回答ありがとうございます。質問が分かりにくくて混乱させてしまったみたいですいません。inaraさん御指摘のように質問はフレネル領域と近接場の境界についてです。
{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ～ D^4/(8w^3 ) のように近似するということですね。

inaraさんの式(1)の第五項とフレネル近似のz^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2を見比べると、どうやら、
{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3)　=　λ
としたほうがよさそうですね。
これでD = 1cm、λ = 630nmとして計算しなおすと
w=0.12mとなりました。
ネットでいろいろ探してみたのですが、どうやら開口が1cmの場合は約10cm離したらいいみたいですね。計算結果と大体あっていますね。（λが同じと仮定した場合）
http://www.ee.t.u-tokyo.ac.jp/~zhe/_private/optical_information/2003Memo/vol3.pdf#search='%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%8D%E3%83%AB%E5%9B%9E%E6%8A%98'

ただ、{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ～ D^4/(8w^3 ) のように近似していいものか悩むところでもあります。。

>手元の参考書によると、開口面（１辺がDの正方形）からの距離をzと
>したとき
>フレネル領域：z<D^2/λ
>フラウンホーファ領域：D^2/λ<z

フレネル近似はフラウンホーファー近似を厳密化したしたものですから、フランウンホーファ領域を含んいると思います。
御回答ありがとうございました。