grad、div、∇

質問

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか？。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では，x を動かしたとき，
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね．
これの３次元版が grad と思えばＯＫです．

例えば，圧力 p なら，それが一般には場所によって変わります．
x,y,z の３座標で場所が指定できますから，p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい．
そこで，場所を動かしたとき，p の変化の様子が知りたいとします．
でも，動かすと言ったって３次元なんだから，方向を決めないと困ります．
そりゃ，そうですよね．
大気圧考えてみれば，今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが，
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は，チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって，気圧はうんと下がっちゃいます．
で，y,z 方向には全く動かず，x 方向にだけ動いたとします．
このときの p の変化の割合は，偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね．
同様に，x,z を固定して y だけ動かせば，変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y，
x,y を固定して z だけ動かせば，変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z．
つまり，以上の３つの偏微分で変化の様子がわかります．
ばらばらに３つ扱ってもいいですが，
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x，
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y，
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z，
というベクトルにしたのが grad p です．
ベクトルにしておくと，
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります．

なお，creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです．
p は圧力(の強さ)そのもの，grad p は p の変化の割合です．
その場所での圧力は p です．

div は，creol さんも書かれているように，発散です．
極限値が発散する，などの発散とは全く違いますので，念のため．
例えば，水流中に仮想的な直方体を考えてください．
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね．
で，場所にもよりますから，j(x,y,z) と書きましょう．
テキストファイルじゃうまく書けないですが，j はベクトルです．
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる，後述)．
直方体の６面分全部考えてくださいよ．
水量ですから，スカラー量ですね．
え？ 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう？
ええ，それでいいんです．
つまり，div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量，本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています．
式で書くなら， div j = - ∂ρ / ∂t です．
右辺のマイナスは減少だからついているんです．
ふつうの水流(例えば，川なんか)なら？
div j の計算のときに，流出量をプラスとして考えているので，
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください．
ごくふつうに川が流れているとき，
上流の方から流入量と，
下流側への流出量は同じですよね．
そうすると，プラマイうち消して，div j = 0，
直方体の中の水量は時間変化しません．

え，直方体の大きさ？
あ，それはですね，十分小さくとってください．
小さくとれば，流入量も流出量も小さくなっちゃう？
実は，正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります．

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です．
jx は j の x 成分，他も同様．

∇の記号は creol さんの書かれているとおり．
読み方は「ナブラ」(nabla) です．
ちょっと変わった名前ですが，
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています．

grad，div，と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation，回転)があります．

わかりやすく，ということで回答してみました．

お礼

お返事が遅くなってしまって、申し訳ありません。
非常に丁寧な御回答ありがとうございます。
私はもともと数学があまり好きではなく、大学の数学も何だかよく分からずに過ぎてきてしまいました。
そのため、式を見てもピンと来ず、概念やイメージなども皆無に近いものがありました。
そんな私でも、すんなりと理解できるような説明をして頂きまして、とても助かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

Ponn

？？？・・・！
答えでは無くて恐縮ですが・・・。
もしや！(-_☆)キラリ
流体力学関係ですか？
エネルギー保存則とか、ナビエ＝ストークスの方程式とか？
＿
ｑ＝λ　ｇｒａｄ　Ｔ　とか。

ここなんかはどうでしょうか。
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl3.html
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl4.html
http://www-kyoryu.scphys.kyoto-u.ac.jp/~toh/kougi/node8.html
参考にならなかったらすいません。

参考URL：

http://www-kyoryu.scphys.kyoto-u.ac.jp/~toh/kougi/node8.html

お礼

うっ、ばれないように質問をしたつもりだったのですが、専門家には分かってしまうんですね。
まさに、ズバリです。
参考URLを見ながら、勉強します。
お返事が遅くなってしまってすいませんでした。
最後になりましたが、御回答ありがとうございました。

回答No.1

creol

専門家になるかもしれない学生です

物理でもあり数学でもあります。
もとはベクトル計算ですので、まずはベクトルになれた方がいいと思います。
x,y,z方向の単位ベクトルをi,j,kとすると・・・という話です。

gradはgradient 傾きです。何がどう傾いてるのかというと、直線グラフのように考えてください。直線グラフが上向きとか下向きとか、そのとき傾きを考えますよね。
急であるとか、緩やかであるとか。そのような感じです。
ですから、「grad p」はある地点でのｐの傾きということになり、意味としては
その点での圧力の強さを表します。プラスかマイナスかによって押されてる力か引っ張られる力か変わります。

divはdivergence、発散という意味で、イメージは発散です。答えになってないですね。divをよく使う学問に電磁気学というのがあります。それらをかじるとイメージしやすいです。

∇は演算子です。計算するときの表記方法で、「grad p」は∇を使って表すと「∇p（ｐはスカラー）」,「div p」は「∇・ｐ（ｐはベクトル）」と表せます。

最終的な目的（どこまで分かればよいのか？）が分からないのでこれぐらいでとめときます。分かっていただけたでしょうか。

お礼

返事が遅くなってしまいましたが、回答ありがとうございました。
私自身がよく分かっていない上に、よく分からない質問をしてしまったので、御回答に困られたのではないかと思います。
わたしはもともと化学屋なので、この手の話は困ってしまうんですねぇ。
電磁気学とかも、アレルギーがあって・・・。
あっ、話がそれてしまいました・・・。
いずれにしても、ありがとうございました。