統計学 推定の標本標準偏差

質問

試験に備えて区間推定の練習問題をやっているのですが、どうしても標本標準偏差の値が解答とずれてしまいます。
何度もテキストを読み直しましたが、自分ではまったく原因がわかりません。
統計に詳しい方がいらっしゃいましたら、どうか教えてください。
お願いします。

問題：某地区の１０世帯について１ヶ月の電気使用量を調査した。
　　　5900 4300 4200 3800 5200 4500 5100 6200 4700 4100
この地区の電気使用量の平均を信頼係数90％で区間推定せよ。

　　(解答では、標本標準偏差は790.2となっている)

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

分散の計算式の基本は

1/(n-1)Σ(x-m)^2=1/(n-1)Σ(x^2-2mx+m^2)

です。これが元々の定義ですね。(不偏分散の方です)
これで計算すると普通に790.2になります。ここで質問者さんや#2さんの計算をしたいなら

m=1/nΣx　⇒　nm=Σx

からΣ(-2mx+m^2)=-2mΣx+nm^2=-nm^2

不偏分散=1/(n-1)(Σx　-nm^2)

となります。つまり、

s^2 = 236020000 / 9 - 23040000 = 3184444
s = 1784.501

ではなく

s^2 = 236020000 / 9 - 23040000*10/9 = 624444.444444444
s = 790.2

と計算します。

お礼

迅速な御回答ありがとうございます。
とても詳しく教えていただいたおかげでばっちり理解することができました。
この度は、本当にありがとうございました。

回答No.5

backs

age_momoさん補足ありがとうございます。私も投稿してから気づいたのですが,不偏分散の公式とそうでない普通の分散の公式とでは元々の定義式がことなるので,式の変形も異なるのですね。

私は勘違いして不偏分散でない公式を変形したもの(つまり私が提示した式2の公式)を使って,それを不偏分散だと思い込んでしまっていました。

不偏分散の公式を計算しやすいように変形したものは,

s^2 = ( ΣX^2 - n * X'^2 ) / (n -1)　　X'は標本平均値

ですね。完全に勘違いしておりました。質問者さんも申し訳ありませんでした。まぁ,こういう間違いはしないようにということでご勘弁を!!

お礼

御回答ありがとうございます。
そんなことはありません。充分に参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

backs

s^2 = Σ(X - X')^2 / n　…(式1)　X'は標本平均

s^2 = ΣX^2 / n - X'　…(式2)　X'は標本平均

質問者さんは(式2)のほうで計算されたようですね。実は私もExcelのセルに数値を打ち込んでチマチマと計算してみたのですが,なぜか(式2)の方では答えが質問者さんと同じになってしまいました。(式1)では正常に答えが出るのに。。。

各標本値を2乗 = (34810000, 18490000, 17640000, 14440000, 27040000, 20250000, 26010000, 38440000, 22090000, 16810000)

これの合計 = 236020000

標本平均値 = 4800

これの2乗 = 23040000

以上の値をもとに計算すると,

s^2 = 236020000 / 9 - 23040000 = 3184444
s = 1784.501

…どうしてでしょう？同じ手順で他の数値例を使ってやれば正常に答えがでるのですが,この数値例で計算すると何度やっても答えが合いません。誰かが間違いを指摘してくれれば良いのですが,もう少し考えてみます。

No.1さんは何かソフトウェアを使ったのでしょうか？

回答No.2

backs

問題が「この地区の電気使用量の平均を信頼係数90％で区間推定せよ。」なのに,なぜ解答が標本標準偏差なのでしょう？

平均値の区間推定についてまとめておくと,

1.　母分散は既知か未知か。未知ならば標本値から得られる不偏分散を用いる(今回の例では624444.4)。
2.　教科書に載っているであろう区間推定の式に値を当てはめて計算すればできるはずです。

これとは別に,質問者さんが計算した標本標準偏差と解答の値が異なっているのは,解答の値は不偏推定量(不偏分散の平方根)で,質問者さんが用いた計算式は不偏推定量の公式ではないのでしょう。その辺りを確認してみるとよろしいかも。

不偏推定量を用いた場合=790.218
そうでない場合=749.6666

回答No.1

age_momo

少し気になったのですが、区間推定するなら必要なのは標本から計算された
母集団の標準偏差の予想値(期待値)です。標本標準偏差ではありません。
不偏分散を求めて平方根とったら普通に790.2になるのですが、
質問者さんはどう計算されて、いくつになったのでしょうか？
標本数10から1引いて9で割っていますか？

補足

そうなんですか？
すみません。ずっと標本標準偏差かと思っていました。
計算ですが、まず上の１０個の数をそれぞれ２乗したものを足した後、９で割って平均値の２乗で引き、平方根をとりました。
(34810000＋1849000……)÷９－23040000　→√をとる
そうすると、1784.501になってしまいます。
計算方法が間違ってるのでしょうか？