標本数の求め方についての疑問

質問

標本数の求め方についての疑問
二つの問題があったのですが、

【例】ある工場で生産される製品の重さを無作為抽出した標本で検査したい。予備調査の結果、この製品の重さには約10(g)の標準偏差があることが分かっている。信頼度95%で誤差の範囲を1(g)以内で推定するには，標本の大きさを何個にすればよいか．
（解答）誤差 ＝z・σ/√n　
つまり、式は 1.96・10/√n＝1
n≧= 384.16　…　385個　　　と書かれています。次に、

【１】母標準偏差30(g)である大量の玉葱から標本を無作為抽出する。母平均の95%信頼区間の幅（つまり、誤差の２倍）を3(g)以下で得るには，標本の大きさを何個にすればよいか。
（解答）誤差×2＝z・σ・2/√n
つまり、標本数を求める式は　1.96・30・2/√n＝3
n≧1537個　とありました。

ここで疑問なのですが、なぜ【例】の問題では、誤差×2（z・σ・2/√n）ということをしないのでしょうか。統計初心者なので詳しく解説して頂けると助かります。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> なぜ【例】の問題では、誤差×2（z・σ・2/√n）ということをしないのでしょうか。

【例】及び【１】でいうところの「誤差」は通常の「誤差」とは違うようです。
通常、誤差は測定値から真の値を引いた値として定義されます。
なので
誤差 ＝z・σ/√n
誤差×2＝z・σ・2/√n
というような書き方はしないはずです。
さらに付け加えると「標本数」ではなく「標本の大きさ」とするべきです。
とケチをつけるのはこの程度にしておいて。

【例】ある工場で生産される製品の重さを無作為抽出した標本で検査したい。予備調査の結果、この製品の重さには約10(g)の標準偏差があることが分かっている。信頼度95%で誤差の範囲を1(g)以内で推定するには，標本の大きさを何個にすればよいか．

「信頼度95%で誤差の範囲を1(g)以内で推定する」というのは、母平均をμ、母標準偏差をσ、標本の大きさをn、標本平均をXとすると、-1≦X-μ≦1となる確率を95%以上にしたい、つまり
Pr(-1≦X-μ≦1) ≧ 0.95
となるようにnを設定したということでしょう。
記載はないのですが、製品の重さの分布は正規分布に従うと仮定されているのでしょう。
（もし正規分布に従わなくてもnが十分に大きければ、標本平均は正規分布に近似的に従います）
上の不等式が成り立つには
Pr(-1≦X-μ≦1) = Pr(|X-μ|≦1) = Pr(|X-μ|/(σ/√n)≦1/(σ/√n))
Pr(|X-μ|/(σ/√n)≦1.96) = 0.95
であることから
1/(σ/√n) ≧ 1.96
が成り立たないといけません。
従って、
n ≧ (1.96σ)^2
となります。

【１】母標準偏差30(g)である大量の玉葱から標本を無作為抽出する。母平均の95%信頼区間の幅（つまり、誤差の２倍）を3(g)以下で得るには，標本の大きさを何個にすればよいか。

μ、σ、n、Xの意味は【例】と同じとすると、母標準偏差が既知の場合の母平均の95%信頼区間は、
X - 1.96σ/√n ≦ μ ≦ X + 1.96σ/√n
となります。
この幅を3以下にしたいのですから、
(X + 1.96σ/√n) - (X - 1.96σ/√n) = 2・1.96σ/√n ≦ 3
を満たせば良いのです。
これを解けば、
n ≧ (2・1.96σ/3)^2
となります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%A4%E5%B7%AE

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました！