統計学の練習問題 解説が理解できないので…

質問

統計学の練習問題を解きたいのですが、解説が理解できないので教えてください。

「世帯数が約１０万の市でｎ世帯を無作為に抽出して各世帯の人数を調べて市の人口を推定する。
推定量の変動係数を５％以下にするためには
抽出する世帯数ｎはおおよそいくら必要か。
ただし母集団の変動係数は１．０以下であることがわかっている。」

解説には

「世帯数を推定するのに推定量の分散が最大となる場合、つまり母集団の変動係数が１．０である場合を考えて、この場合でも推定量の変動係数が５％以下になるように標本サイズを定めればよい。標本サイズをｎとするとき、標準誤差が１／√ｎとなることより、変動係数は１／√ｎとなる。これが５％以下になるためには、標本サイズは（１／０．０５）^2＝４００以上あればよい。」

と書いてあります。

理解できないのは、

『標本サイズをｎとするとき、標準誤差が１／√ｎとなることより、変動係数は１／√ｎとなる。』

この部分です。

変動係数＝標準偏差／平均値
標準誤差＝標準偏差／√ｎ

というのは調べました。

どうして『』のような流れになるのでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

takurinta

この問題について、Yahoo!知恵袋のiguchi_yuさんの回答も参考になると思います。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12128562982

Zero-truncated Poisson DistributionのWikipediaへのリンクを参考URLに入れておきます。

なお、「パラメータ推定量」の分布はそれがどのような分布のパラメータであるかに関係なくたいていは正規分布で扱える (多くの場合、独立に同一の分布に従う確率変数の和に基づいて作られるから) ので、No.4までの回答で大事なところは押さえられてはいます。すなわち、元データを上記のZTP分布に従うものと考えないでも解ける問題ではあります。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Zero-truncated_Poisson_distribution

回答No.4

noname#227064

回答No.3補足
> (標準偏差/√標本サイズ)/平均 = (標準偏差/√1)/平均
> ここで標本サイズ＝１としているのはなぜですか？

すみません。
ちょっと余計なことを書いてしまいましたね。
ひょっとすると疑問に思われるかなと気にはなっていたのですが、予感が的中してしまいましたか。

まずは、母集団の変動係数とは何かというがわかっていないといけません。
この問題では、世帯数が約１０万の市でｎ世帯を無作為に抽出して各世帯の人数を調べるのですから、世帯の人数が1,2,3,……,の場合でそれぞれ何世帯あったかが得られます。
この時の母集団の分布は、

世帯の人数　世帯数
１　　　　　x[1]
２　　　　　x[2]
：　　　　　：
：　　　　　：
合計　　　　全世帯数

です。
平均は
1*x[1]/全世帯数 + 2*x[2]/全世帯数 + …… + k*x[k]/全世帯数 + …… +
で、標準偏差は
√{(1-平均)^2*x[1]/全世帯数 + (2-平均)^2*x[2]/全世帯数 + …… + (k-平均)^2*x[k]/全世帯数 + …… + }
となり、これが母集団の標準偏差です。
母集団の平均と標準偏差は、標本の場合と混同しないように母平均、母標準偏差とも呼ばれます。
そして、
母標準偏差/母平均
が母集団の変動係数なのです。

さて、この母集団からn世帯を無作為に抽出したときの世帯の人数の平均がY[n]であるとします。
このY[n]という推定量の分布の平均と標準偏差は母平均と母標準偏差/√nに一致します。
従って、
Y[n]の変動係数 = Y[n]の分布の標準偏差/Y[n]の分布の平均
= (母標準偏差/√n)/母平均
です。
この式でn=1を代入すれば母集団の変動係数が出てきますよね、というだけの話だったりします。

回答No.3

noname#227064

回答No.2補足
> この問題では、標準偏差＝１なんですか？

いえ、それは不明です。
わかっているのは母集団の変動係数が1.0であること、つまり

(標準偏差/√標本サイズ)/平均 = (標準偏差/√1)/平均
= 標準偏差/平均
= 1.0

であることだけです。
そして、この問題で要求していることは、変動係数が5%（=0.05）以下になることで、

(標準偏差/√標本サイズ)/平均 ≦ 0.05

を満たす標本サイズを求めることです。
この不等式を変形すると

標本サイズ ≧ {(標準偏差/平均)/0.05}^2
= (1.0/0.05)^2
= 400

なので、標本サイズは400以上あれば良いということがわかるのです。

補足

何度もありがとうございます…。
いろいろと分かってきました。
本当にありがとうございます。

もう一つだけ教えてください…。お願いします。
(標準偏差/√標本サイズ)/平均 = (標準偏差/√1)/平均
ここで標本サイズ＝１としているのはなぜですか？
何度も申し訳ありません。
お願いします。

回答No.2

noname#227064

回答No.1補足
> ここが分からない(;´Д｀)

ある推定量の分布の標準偏差のことを標準誤差と呼ぶのは定義なので、そんなに悩まないでください。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error#cite_note-1

補足

ありがとうございます。
標準誤差の定義について勉強していませんでした…理解できない原因の一つはこれだったようです、すみません。
が、あの・・・
この問題では、標準偏差＝１なんですか？
変動係数＝１のとき、標準偏差＝１になるんですか？
今私はとんちんかんなことを言っているのでしょうね…もし怒っていらっしゃらなかったら、もう少し教えてください…。
この問題のどこから標準偏差＝１と判断するのか教えてください。

回答No.1

noname#227064

平均の変動係数 = 平均の分布の標準偏差/平均
= 平均の標準誤差/平均
= (標準偏差/√標本サイズ)/平均
だからです。

補足

平均の分布の標準偏差/平均
= 平均の標準誤差/平均
ここが分からない(;´Д｀)
ちょっと待ってください、理解します。
理解できてからお礼を書き込みます。