二項係数の拡張 例えば３Ｃ５について

質問

例えば３つのものから、５つのものを組み合わせでとることに
相当するような、

二項係数　ｎＣｒについて、ｒ＞ｎ　の　場合を考えるような
拡張はあるのでしょうか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

ガンマ関数をご存知なら話が早い．

(1)　　nＣr = n!/r!(n-r)!
ですから，一番普通の拡張は階乗をガンマ関数で表現した
(2)　　Γ(n+1)/Γ(r+1)Γ(n-r+1)
でしょう．
これで，すべての複素数 n,r に対して拡張できます．

質問の例にある n=3，r=5 ですと，
(3)　　Γ(4)/Γ(6)Γ(-1)
ですが，
(4)　　1/Γ(-m)=0　　　(m が非負の整数の時)
が知られています．
したがって，(3)の値はゼロです．

また，(2)(4)から r が負の整数の時はやはり(3)の値がゼロになることも分かります．
No.2 の echoes さんの
> そんな場合はありえないから０とするんじゃなかったっけ？
とも話が合っていますね．

お礼

どうもありがとうございます。
なるほど、すなおな拡張ですね。
あまり数学をきちんと勉強しなかった私には記憶がありませんが
良い示唆を与えていただけましたので、本をあたってみます。

実は算術的な問題を考えていて
０以外とするケースがあるのだろうか？　
とちょっと気になったので質問をしたのでした。
その問題自体の答えとしては
「場合分け」をすれば解答としては問題ないのですが、
質問したようなケースをゼロにできるなら、場合分けが不要、
というような類の問題でした。

どうもありがとうございました。

回答No.4

Asihana

たとえば、「３つの珠の入った袋から5つの珠をとりだすとき」、に相当するような状況を思い浮かべろ、ということになるでしょうか？

補足

とりあえず私の疑問はNo.3で氷解していますが
閉じずに申し訳ありません。

例えば５次元、６次元の世界のように
「思い浮かべ」ようはありませんが、
抽象的な拡張があるかとの質問でした。

回答No.2

echoes

そんな場合はありえないから０とするんじゃなかったっけ？高校の先生が３年ほど前にそんなことを言っていたような。

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

３つのものから、重複を許して５つをとる組み合わせはある。
「重複組み合わせ」といって、3Ｈ5というふうにあらわす。

これを説明するのは非常に簡単なのだが、ひょっとすると、「大学への数学シリーズ」で勉強するつもりなら、解法の探求か、場合の数それだけを扱っている参考書を購入して勉強されたらどうか。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

ただ、知りたいのは、ｎＣｒを純粋に拡張したような
考え方があるか、ということです。

！とガンマ関数のような・・・