コインを投げて「過去４回以内に表が２回出たら終わり」なゲーム

質問

表が出る確率がｐなコインがあります。

「過去４回以内に表が２回出たら終わり」というゲームを考えます。
例えば、
　○○　　　　　・・２回で終了（最短！）
　○●●○　　　・・４回で終了
　●○●○　　　・・４回で終了
　●○●●●○　　・６回で終了
（○おもて、●裏）
という感じです。

「このゲームが終わる回数の期待値」はいくつでしょうか？

最初は簡単かと思ったのですが、分からなくなりました。

上の例で言うと、２回で終了する確率はｐ^2、４回で終了する確率は 3Ｃ1 (１－ｐ)^2 ｐ*ｐ(?) だと思うのですが、これらの回数の期待値となると頭がこんがらがってしまいました。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

>「過去４回以内に表が２回出たら終わり」
というのは最後の４回の中に表が２個あったら終わりという事ではないんですか？

とすると、
>　●○●●●○　　・６回で終了
は、最後の４回は●●●○で、表は１回だけなので、終わってないような？？

まぁ、いいか。
例から考えると、最後の５回を見てその中に表が２個あったら終わりという事なんですかね。

●●●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をＡ(←これはコインを投げる前の時点での期待値と一緒)
●●●○と出た後に、コインを投げる回数の期待値をＢ
●●○●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をＣ
●○●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をＤ
○●●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をＥ
とおくと(●＝裏、○＝表です)、簡単な考察から、
Ａ＝1+pＢ+(1-p)Ａ　(←Ａの状態からコインを投げると確率pでＢの状態になり確率1-pでＡの状態になる)
Ｂ＝1+(1-p)Ｃ
Ｃ＝1+(1-p)Ｄ
Ｄ＝1+(1-p)Ｅ
Ｅ＝1+(1-p)Ａ
のようになります。この連立方程式を解いてＡを求めれば答えがわかります。ご自分で求めて下さい。

補足

＞最後の４回は●●●○で、表は１回だけなので、
＞終わってないような？？

すみません・・ご指摘の通りです。
●●○●●○
とすべきでした。

ヒントありがとうございます！

回答No.3

kabaokaba

漸化式タイプなのでは？
n回で終わる確率をP(n)とします

n=1 終わらないから確率 P(1)=0
n=2 二回連続で出るから P(2)=p^2
n=3 ●○○，○●○だから，2p^2(1-p)
n=4 □□□○　
□には一個だけ○が入る，残り二つは●
　　だから，3p^2(1-p)^2
n>4とします
n回目で終わるということは
・(n-1)回目までで終わっていない => 確率 1-P(n-1)
・n回目には○ => 確率 p
・n-4，n-3，n-2，n-1の中には
　○が一回，残りは● => 4p(1-p)^3
が同時に成り立つことなので，
P(n) = (1-p(n-1)) * p * 4p(1-p)^3

この漸化式を解いて，P(n)を求めて
ΣnP(n)を計算する・・・すごいことになりそう．

全然あってる気がしませんが（苦笑）。。。

回答No.2

motochan7185

n回（n>2）でゲームが終了する確率は、
n回目に表、1回目からn-1回目までに一度だけ表、
それ以外は全て裏、が出る確率となりますので
(n-1) * (1/2)^n
です。
期待値は、（回数かける確率）の和になりますから、
Σ(n-1)*(1/2)^n
です。（Σの範囲は２から∞）

ここから先は時間をかけて考えてみてください。

補足

＞n回（n>2）でゲームが終了する確率は、
＞n回目に表、1回目からn-1回目までに一度だけ表、
＞それ以外は全て裏、が出る確率となりますので

違います。

「過去４回以内」に表が２回出たら終わりというゲームです。
過去すべて、トータルで表が２回出たら終わりというゲームではありません。

たとえば、

●●●●○●●●●○●●●●○●●●●・・

では、すでに三回表が出ていますがまだ終わっていません。

回答No.1

nrb

平均は４回ですね

１回の表のでる期待値は０．５ですから
２÷０．５＝４で４回

補足

１回の表のでる期待値はｐです。