微分 dx=g'(t)dt の感覚

質問

例えば、∫(2x+1)√(x+2)dx の不定積分を求める場合、
√(x+2)=t とおくと x+2=t^2 から dx=2tdt
となりますが、ここでこの dx=2tdt を具体的に頭の中で
イメージしたいのですが、どのような表現が最良
でしょうか？
１．xが微小に変化するとき、tの微小変化に2tを
かけた分だけ変化する。
２．xが1変化するとtは2t変化する。
３．その他。

また、この式∫(2x+1)√(x+2)dx 自体を具体的に
イメージするには、定積分と考えて縦(2x+1)√(x+2)×
横dxの長方形を無限に足したものを考えるのが
良いのでしょうか？
そして、∫(2x+1)√(x+2)dx=∫(2t^2-3)・t・2tdt
のイメージですが、長方形として考えるとすると、
縦は(2x+1)√(x+2)=(2t^2-3)・tで、
横は dx=2tdt という感覚で良いでしょうか？

例えば、y=2x^2-5x+1とかならグラフも書けるし、
頂点なども具体的に視覚的にイメージできます。
でも、微積の問題を解いていると文字情報を単に
マニュアルに従って操作している感が否めません。
そのような感覚を払拭すべくこの質問をしました。
よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

x と t のどちらを独立変数をみなすかにもよりますが, １．のイメージでいいと思います.
√(x+2) = t のグラフを描くと, そのグラフ上の点 (x, t) の付近では「t が微小に変化すると x はその 2t 倍だけ変化する」はずです.

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.2

kishiura

理系大学４年です。
半ば強引な回答かもしれませんが、「そういうものとして受け入れる」しかないと思います。
理詰めで考えたいという質問者さんの気持ち、よく分かります。
しかし、例えば大学では、
ｘが０の近傍であるとき、n回微分可能である任意の関数ｆ（ｘ）に対し、
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+…f(n回微分）(0)x^n/n!+…
で表すことが出来る。これをマクローリン展開という。
ということを習います。先生はこれを証明しないし、教科書にも証明の方法は書いていません。
大学では理詰めでは分からないものが多々出てきます。こういうものだ、と受け入れなければならないこともあるのです。

お礼

理系の大学生の方の意見は参考になります。
自分はまだ血肉となるほど微分に触れていないので。
回答ありがとうございました。

回答No.1

mirage70

イメージできるのであれば、グラフを書けばよいのではないですか
y1=2x+1 , y2=√(x+2)と置いて、y1 , y2のグラフを描き、
y2>=0より、x>=-2
後は、特異点を見つけだすだけです。
x=-2の時y2=0よってy1*y2=0
-2<x<-1の時0<y2<1より、y1*y2<0でy1より上になる
x=-1の時y2=1よってy1*y2=y1(y1と交わる)
この後、x>-1の時y2>1です
-1<x<-1/2の時y1*y2<0でy1より下
x=-1/2の時y1=0よつてy1*y2=0
以後はy1*y2>0でy1より上
x=0の時y1*y2=√2

お礼

これはグラフのおおよその形を知る方法でしょうか？
図を描いて試してみました。ｘの式とｔの式を比較
しましたが、同じになるかと思ったら違いますね。
ますますわからなくなってきました。
この方法は参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。