カチオンとアニオンの半径比について

質問

今上記のことを勉強していて、正四面体の中心にあるカチオンと正四面体の各頂点にあるアニオンの半径比を計算で求めようとしていますが分かりません　正四面体の各辺を２とおいて（つまりアニオンの半径が１）やっているのですが・・・　　　ちなみに答えは、アニオンの半径を１にするとカチオンは0.225らしいです　図形を使う問題なので答えるのは難しいと思いますが宜しくお願いします

回答No.1

Umada · ベストアンサー

立体図形は断面で考えるのが一番ですね。

正四面体A-BCDを考えます。Aが頂点でBCDを底面としましょう。
CDの中点をEとします。
頂点A, B, C, Dを中心としてアニオンが配置されているとします。

面ABEで、イオンごと切断した面を考えましょう。
この面(AE=BEの2等辺三角形)内にはまず、
点Aを中心とする半径1のアニオンの断面・・・切断面では円になりますが・・・があります。
同じく点Bを中心として、半径1のアニオンがあります。

題意のカチオンの中心Oは面ABE内に位置するはずですが、
(1)カチオンを表す円は上記の二つの円と接している
(2)頂点Aから辺BEにおろした垂線を考えると、Oはその線上にある(対称性から)
の2つでカチオン(の断面)を表す円は一意に決まります。

以下はOを定めるための数学テクニック上のお話です。
(2)の垂線の足をHとすると、Hは底面BCDの重心になります。
また頂点Bから面ACDにおろした垂線の足をH'とすると、同様にH'は△ACDの重心で、
かつOは線分BH'上に存在します。

この先は力づくでもなんでも解けるのですが、中学校の数学まででやるとすると、
(1)面ABE内で、Hを通りBH'に平行な補助線を引く。この補助線がAEと交わる点をFとおく。
(2)三角形BH'Eと三角形HFEの相似を考え、H'F:FE =2:1と求められる。
(3)これより、AO:OH=3:1と求まる。

AHの長さですが、正四面体の一辺の長さを2とするならピタゴラスの定理より2√6/3と求められます。
AOの長さはその3/4ですから　√6/2　です。
これから、Aを中心とするアニオンの半径1を引き算すればよいので
(2.44949..../2)-1=0.22474...

と求まります。
これでいかがでしょう?

お礼

素早い返答ありがとうございました　大変よく分かりました　こんな問題で何時間も苦労したのが嘘みたいです　これからも何かあれば宜しくお願いします