確率に強い人 一緒に考えてくれますか？

質問

こんにちは。質問ページを見てくれてありがとうございます。

バスケットのシュートの成功率について考えたいと思います。
あるバスケット選手がシュートの練習をしていました。何回連続でシュートが成功するかというのを計測した結果平均で５０回連続成功するということです。
連続で３５回しか成功しない時もあれば、６５回連続で成功することもあるということです。

この平均で５０回連続成功するという情報から１本当たりのシュートの成功率を出したいのです。（予想では限りなく１００パーセントに近そうですが。）
僕はこの確率を求めるために２つの方法で考えました。

（１）これは５１回中５０回成功するからシュートの成功率は５０/５１
（２）平均５０回だから５０回連続で成功する確率はおよそ１/２と考えて、シュートの成功率をpとするとP^50≒0.5

のように考えました。（１）（２）の計算結果はそれぞれ
（１）0.980
（２）0.986
のようになりました。どちらも近いのは近いのですが誤差が生じています。
（２）が間違っているのかもしれないですが、原因はなんでしょうか？５０回連続で成功する確率を１/２と考えたのが良くないのでしょうか？
そうでなければ５０回連続で成功する確率はどのくらいになるのでしょうか？

ご回答よろしくお願いします。アドバイスでもいいので投稿してくれると助かります。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

(1)が正しいです。この確率分布は有名な分布で名前もついていて、幾何分布といいます。参考URLもご覧ください。以下、簡単に説明します。

一回の成功確率がpである試行を行って、初めて成功するまでに行う試行の回数をXとします。このとき、Xはパラメータpの幾何分布に従うといいます。簡単な例だと、コイントスのゲームがあります。表裏が1/2で出るコインを表が出るまで投げ続けて、表が出るまでの回数を調べるわけです。この場合はX=1となる確率は1/2、X=2となる確率は1/4、などと簡単に計算できます。一般に成功確率pの試行において、X=kとなる確率は、p(1-p)^{k-1}です。要するにk-1回まで連続して失敗して、次に成功すればよろしい。この幾何分布の期待値（平均値）は実は1/pになることが知られています。具体的にはΣ_{k=1}^{∞}kp(1-p)^{k-1}を計算します。

ご質問のケースでは、シュートを失敗する確率をpと置けば、"シュートを失敗すること"が50回連続して失敗して、そのあとに初めて"シュートが失敗すること"が成功するわけですから、要するにpの期待値(平均)が51だった、というわけです。これから1/p=51なので、p=1/51です。つまり、シュートの成功確率は1-p=50/51となって、(1)の計算と合います。

ちなみにシュートの成功確率がq=50/51のときに、50回連続して成功する確率は、(50/51)^50=0.371528…になります。これが1/2よりもかなり小さくなる理由は、いちばん悪い場合でもシュートの連続成功回数は0を下回らないが、運がよければ、たとえば1000回続くことだってあり得るわけです。そういう場合も含めて平均を考えてるわけだから、50回以上連続して成功するような確率は若干1/2から少なくなっているんですね。幾何分布のグラフを描いてみると視覚的にも理解できます。

この手の話は、たとえば宝くじの配当金の期待値の話にも見られます。たとえば、一枚300円の宝くじの期待値は150円程度といわれますが、ほとんどの場合、末等すら当たらず、300円がパーになってしまうことが多いです。つまり150円以上の当選金がもらえる確率というのは、とても小さいのです。たとえば下一桁がある数字が出れば、300円みたいな宝くじだったとしたら、だいたい0.1ぐらいの確率になります。これも大抵の人は損するが、ごくごく稀に大当たりして大金を手にする人もいて、そういうのもひっくるめて平均150円だ、といっているので、150円以上もらえる人というのは半数より圧倒的に小さいのだ、というわけです。さらにこれは平均所得の話にもいえます。日本人の平均所得がいくらだ、という報道がたまにされますが、平均所得に満たない世帯というのは実は半数より多いのです。これも大金持ちが平均所得を上げているせいなのですね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

回答ありがとうございます！！（１）が正しいのですね。このような確率分布は幾何分布というのか～。覚えておきます。
５０回連続して成功する確率も１/２より小さそうですね。たしかに連続成功０回から連続成功４９回までは平均を下げますが、連続成功５１回より大きい数字は平均をあげて、この平均をあげる回数の数（５１から∞）ほうが平均を下げる回数の数（０から４９）より多いということですね。
また、例えばテストで平均点より低かったからと言って、必ずしも全体の半分以下に位置しているとは限らないということですね。
参考になりました！！

回答No.2

noname#24129

一回のシュートで、成功することと、失敗することが五分五分ならば、
成功率は(1/2)と考えられ、このとき、
５０回連続で成功する確率は、
(1/2)^50=0.000000000000000888…
であるから、ほとんど起こらないといえる。
にもかかわらず、バスケットボールの選手が、そのようなことを実現するのは、彼にとって、成功することのほうが失敗することよりも簡単なのだ。彼の成功率をＰとすると、
Ｐ^50=１
ここで、５０回連続成功の確率を、１としたのは、もし、５０連続成功の期待が常にもてると仮定すればということだ。この場合、Ｐ=１、１００％の確率だ。
しかし、実際には、失敗することがあるので１００％とはいえない。
つまり、判断の条件は、どの程度の期待が持てるかということが必要なのだ。それには、連続成功のデータをできるだけ多くとって、５０本連続成功の場合が、すべての場合に対して、どれだけの割合であるかを見なければならない。その期待値が、もしも、0.5であれば、
Ｐ^50=0.5
であるから、Ｐ=0.986…
ただし、連続成功の平均が５０回だからということから、1/2の期待がもてると考えるのは誤りである。実際の計測データを用いるのがよい。
データがない場合は、連続成功の回数の分布が、正規分布になると考えて、偏差値５０の、・・・お手上げですが、続けます。１回から１００回の分布があるとして、５０回の区間の度数から、期待値がどれほどであるかを求めたらいいのだけど・・・。

連続40回成功が1、連続50回成功が2、連続60回成功が1のような、
二項分布になると考えると、2/(1+2+1)=0.5でいい。
しかしありそうにない。
1.3,3,1はとばして、1,4,6,4,1のような分布になれば、
6/(1+4+6+4+1)16=0.375、Ｐ^50=0.375、Ｐ=0.98057…

1.5.10.10.5.1はとばして、1,6,15,20,15,6,1のような分布になれば、
20/(1+6+15+20+15+6+1)=20/64=0.3125、Ｐ^50=0.3125、Ｐ=0.977005…

こんな感じでしょうか。自信はありません。(1)の方法は、どうなんでしょう。平均連続成功回数１の素人の場合、１/(1+1)=0.5なんでしょうか？
○×○×○×○×・・・ときに、○○×、があったとしても、妥当な成功率と思えるのですが。×××××○×こんな場合は連続成功１と数えるのですか？

お礼

（２）の方法は間違っていたようですね。1/2の期待が持てるというのは確かに誤りだと思います。連続成功の定義を決めていなかったですね。自分でもどのように定義してよいか分からないですが。
回答ありがとうございます！！参考になりました！！

回答No.1

a-saitoh

「何回連続して成功するか」の平均が50回だとすると、違う計算になります。
シュートの成功確率をpとします：
連続して失敗する可能性がありますが、これは連続成功回数とはないので無視します(連続失敗を「0回連続成功」と扱って計算することもできますが）。
1回成功して次は失敗する確率:　p(1-p)
2回連続成功して次は失敗する確率:　p^2(1-p)
3回連続成功して次は失敗する確率:　p^3(1-p)
n回連続成功して次は失敗する確率:　p^n(1-p)
というわけで、
Σ(n=１→∞)n・p^n・(1-p)=50
を満たすpを求めればいいのだと思います。

これだと結局(1)と同じになるかな。

お礼

回答ありがとうございます！！
n回連続成功して次は失敗する確率:　p^n(1-p)
のところまでは理解できたのですがΣ(n=１→∞)n・p^n・(1-p)=50
のところは理解できませんでした。しかし、Σ(n=１→∞)n・p^n・(1-p)=50の式は覚えておきたいと思います。^^参考になりました！！