場合の数の問題？

質問

先ほど、「場合の数」の問題をやっていたら、分かるような分からないような問題（解説を読んでもイマイチで…）どなたか教えていただけないでしょうか？

問題：　A,B,B,C,C,D,Dの７つの中から３文字を選んで並べる時の並べ方は全部で～通りある。

っていう問題なんですけど、答が５１ってなっていて、説明していただけないでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

重複する文字があったりなかったりすると考えづらいので、
文字が必ず重複する場合（ABB、CCD、BDBのように、同じアルファベットが2回でる場合）と
重複しない場合(ABC、DAC等、同じアルファベットが2回でない場合)で分けて考えます。

(1) 文字が重複しない場合。
この場合はA、B、C、Dの4文字の並びですから、
先頭の文字はA、B、C、Dのうちから4つ、
真ん中の文字は、先頭の文字以外の3つ、
（先頭の文字にDを選んだら、真ん中の文字の選び方はA、B、Cの3通り）
最後の文字は、先頭でも真ん中でも使わなかった、余りの2つ、
（先頭の文字にD、真ん中の文字にAを選んだら、余りはB、Cの2通り）
よってこの場合の並べ方は

4 × 3 × 2 = 24通り

(2) 文字が重複する場合。
この場合の文字の並べ方としては、
重複する文字を○、それ以外を△で表すと

○○△　（例：AAC、BBD等）
○△○　（例：ACA、CBC等）
△○○　（例：CAA、ADD等）

の3通り、
○に入るアルファベットはB、C、Dの3つ、
（Aは1個しかないので○には入らない）
△に入るアルファベットは、○で選ばなかった余りの3つ
（○にBを選べば、△に入るのはC、DとAの3つ）
よってこの場合の並べ方は
3 × 3 × 3 = 27通り

(1)、(2)より、求めたい場合の数は
24 + 27 = 51通り
となります。

> 解説を読んでもイマイチで…

どのあたりがいまいちなのかを書いていただければこちらとしても答えやすいです。
上記の解説でよろしいでしょうか？
何か抜けている点や、分かりづらい点があったら、教えてください。

お礼

解説を読んでもイマイチ、というか何か、理解したんだか、してないんだか自分でも良く分からないといった感じでした。回答、分かりやすかったです。ありがとうごいざいました

回答No.4

good777

□問題□　
A,B,B,C,C,D,Dの７つの中から３文字を選んで並べる時の並べ方は全部で
～通りある。

□解法□
ＡＢＣの型
４×３×２＝２４（通り）

ＡＢＢ　ＢＡＢ　ＢＢＡの型
ＢにはＢ、Ｃ、Ｄの３通りの置き換えができ、Ｂに使わない文字をＡにおく。
３×（３×３）＝２７（通り）

２４＋２７＝５１(通り)

□答え□
５１通り

付記　Ｎo.3 と同じです。短くしただけです。

お礼

回答、ありがとう御座いました。皆さんの回答を読んで、いくつかのアプローチの仕方があるんだ～って感じました。参考になりました

回答No.2

mangou-kutta

Ａが入らない場合
　3^3-3=24通り
　(B,C,Dが3個ずつあった場合からBBB,CCC,DDDの3通りを引く)

Ａが最初に来る場合
　1*3*3=9通り
Ａが2番目に来る場合
　3*1*3=9通り
Ａが3番目に来る場合
　3*3*1=9通り
足して51通り

お礼

色々なやり方、というかアプローチの仕方があるんですね、ありがとう御座いました。

回答No.1

HAMA2

まずは選んだ３文字が全て異なるパターン

これはＡＢＣ、ＡＢＤ、ＡＣＤ、ＢＣＤの４パターンありますね
そしてこれを並べるわけですが、並べ方はそれぞれのパターンに対して３！＝６通りあります
（例として、ＡＢＣのパターンなら
ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡの６通り）

４パターンそれぞれに６通りあるので、まずは６×４＝２４通りです

そしてもう一つが、選んだ３文字のうち２文字が同じパターン
これはＡＢＢ、ＡＣＣ、ＡＤＤ、ＢＢＣ、ＢＢＤ、ＢＣＣ、ＢＤＤ、ＣＣＤ、ＣＤＤの９パターン在ります

これを並べる場合は、各々のパターンに対して３通り在ります（他と異なる文字が何番目にくるか）

９パターンに３通りずつあるので、９×３＝２７通りです

７つの文字群では３つとも同じ文字になる組み合わせは作れないので、これで全パターンを考えたことになります

故に、答えは２４＋２７＝５１で、５１通りとなります

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。早速の回答ありがとう御座いました。