x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは？

質問

x=√2の整数部分aは？

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは？

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは？

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは？

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをどんどん続けていくと、それぞれの項を小数第二位まで求める必要が出てくると思います。

どんどん続けていくと、その都度、それぞれの項を精密に考え直さなくていけなくて、しかも、小数第何位まで精密に考えなくてはいけないのかなど、自明ではないので、そんないいやり方ではないと思っています。

もっと、いい求め方がありましたら、概略だけでも教えていただきたく思います。

回答No.3

totoro7683 · ベストアンサー

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}（[x]は整数部分、{x}は小数部分）
0<{x}<0.5のとき　x=[x]
0.5<{x}<1のとき　x=[x]+1 を代入

√2に１、√3に２、√５に２、√７に３
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第２位まで近似計算して、第２位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√５に2.2、√７に2.6
を代入するといった具合です。

この方法のもとなるのは
xの小数部分が区間[0,1]に一様に分布するということをつかうのですが、（このことが成り立つかどうか知りませんが）
もし成り立つのならば誤差がならされて大きな項数を加えるときそう大きな誤差にはならないはずです。

１から１００までの素数の平方根でやってみると
√2+√3+√5+……+√97＝150.288
整数近似のほうは150,小数点第一位近似では150.2
とかなり良い値が得られました。
もちろんこれから整数部分が１５０という結論は出てこないですが（この場合ちょっとうまくいきすぎでもっとずれる可能性もある）、大体の値を得られるでしょう。確率論を使うとどれくらいの確率でこれこれの範囲内に真の値があると計算できると思います。

外の例でもためしましたが、場合によっては結構誤差が大きくなったりします。
あまり役に立たないかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　ワイルの一様分布定理
　θを無理数としたときに、θ、2θ、3θ、... (mod 1)は 単位区間(0,1)に一様分布する。
　ここで θx-[θx]　を θx(mod 1)と表記しています。

というのはありますが、
√nの小数部分の数列とか
n番目の素数をp_nとして、√p_nの小数部分の数列とか
が単位区間(0,1)に一様分布するかどうかは僕は知りません。

でもいただいたアイデアは現実的かもしれませんね。

今、思いついたのですが、
√1+√2+√3+……+√100の近似を求めるのに、それを棒グラフで表し、面積がy=√xとy=√(x+1)ではさまれることから、
∫[0,100]√xdx<√1+√2+√3+……+√100<∫[0,100]√(x+1)dx
666.6<√1+√2+√3+……+√100<676.6
となりました。そんなよくない近似かもしれません。

次に、
http://ja.wikipedia.org/wiki/素数定理
によると、n番目の素数をp_nとして

n≧6に対して
nlogn+nloglogn-n<p_n<nlogn+nloglogn

√p_1+√p_2+√p_3+……+√p_25
(ただし、p_1=2,,,,p_25=97)
の近似値を求めるのに、上記の不等式にルートをつけて、棒グラフを曲線の面積ではさむことによって求めようとしましたが、こうすると、
不定積分∫√(xlogx+xloglogx)dx
を求める必要があり、行き詰まりました。

回答No.2

totoro7683

連分数による近似を用いてはいかがでしょうか。
求め方はたとえば無理数xの整数部分を[x],小数部分を{x}とすると、x=[x]+{x},0<{x}<1. y=1/{x}とおくとx=[x]+1/y,1<y. y=[y]+{y},z=1/{y}とおくと、x=[x]+1/([y]+1/z}, 以下、z=[z]+{z}を代入、の繰り返し。

√2=[1,2,2,2,2,...]
√3=[1,1,2,1,2,....]
√5=[2,4,4,4,....]
√7=[2,1,1,1,4,1,1,1,4.....]
となります。
√2の第１近似は１、第２近似は1+1/2=3/2,第３近似は1+1/(2+1/2)=7/5,第４近似は1+1/(2+(1/(2+1/2))=17/12,だい５次近似は41/29,
√3の第１近似は１、第２近似は2,第３近似は5/3,第４近似は7/4,第５近似は19/11,...
√5の第１近似は2,第２近似は9/4,第3近似は38/17,第4近似は161/72,第５近似は682/305
√7の第１近似は2,第2近似は３,第3近似は5/2,第4近似は8/3,第５近似は37/14

ここでxを元の無理数、だいn近似分数を既約分数で表示してp_n/q_nとする。このとき|x-p_n/q_n|<1/q_n^2が成り立つ。たとえば|√2-1|<1,|√2-3/2|<1/4,|√2-7/5|<1/25などがなりたつ。

第５近似を用いると
|√2+√3+√5+√7-41/29-19/11-682/305-37/14|<1/29^2+1/11^2+1/305^2+1/14^2=0.014566...
41/29+19/11+682/305+37/14=8.019988..
8.0054..<|√2+√3+√5+√7<8.034554...
したがって整数部分は8である。
実際の値は8.0280..であるからかなりよいきんじとなっています。連分数展開の項をもっ増やしていくともっと良い近似が得られます。

この回答のかぎとなるのはもちろん評価|x-p_n/q_n|<1/q_n^2ですが、これの証明については高木貞治’初等整数論講義’ハーディ、ライト’数論入門I'
などをご覧下さい。

お礼

たいへん丁寧なご回答に感謝いたします。
僕の感想です。
近似として、ニュートン法と連分数という二種類のご回答をいただきました。

ニュートン法は、最初に方程式を作るのに手間取り、
また近似計算も手計算ではしんどそうですが、良い近時が得られそうです。

連分数はそれぞれの項としては良い近似が得られると思いますが、難癖と言うわけではないですが、和とは相性がよくないと感じます。
たとえば、
√2+√3=[1,2,2,2,2,...]+[1,1,2,1,2,....]
≒41/29+19/11
を計算するのに、もっと多数の分数の和だったらしんどそうです。

難癖と言うわけではないですが、たとえば、
√1+√2+√3+……+√100
とか
√2+√3+√5+……+√97 (√素数の形)
の整数部分をズバリと計算できる何かがあればおもしろいなあと妄想しています。

でもそもそも整数部分を考えることよりも、近似を考えるほうが価値があるかもしれないです。やはりニュートン法と連分数がベストかもしれないです。

回答No.1

fronteye

以前に質問された問題の応用だと思いますが、

http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2369073

そこの回答に、x=√2+√3+√5+√7 が解となる方程式が示されていますよね。
その方程式を関数として扱えば、ニュートン法ににより解の値を求めることができます。

参考URL：

http://www5c.biglobe.ne.jp/~masayosi/kaisetu/newton.htm

お礼

たいへん丁寧なご回答に感謝いたします。