y=x^aでaが整数でないときにはｘが負数の部分が・・・

質問

タイトルの関数のグラフを描いてみるとａが整数の時とそうでない時で、様子が大きく変わりますが、特にｘが負数の部分が欠けた形になることをどのように理解すればよいのでしょうか。

回答No.1

proto · ベストアンサー

例えばa=1/2
の時
　　y=√x
となって
x=-1のとき
　　y=i (y=-iかも知れないです)
となるので
複素関数に拡張して
　　y=z^a
として考えれば解るのではないでしょうか

ちなみに
　　y=z^a=exp(a*log(z))
となって無限多価関数である対数関数が含まれるので
z^aも基本的に多価関数です

お礼

グラフが描けないということが複素数と関係しているとは思いませんでした。勉強になりました。有難うございました。

回答No.2

osumitan

x<0の場合、たとえばx=-1,a=1/2などを考えてみればわかりますが、
そのとき、y=(-1)^(1/2)=i(i:虚数単位)となってしまいます。
虚数はグラフには表現できません。
x<0なら、aが整数のときだけ、はじめて点がプロットできます。

またx=0なら、a>=0が条件になります。
a=0ならy=0^0=1となり、a>0ならy=0ですが、
a<0の場合、分母が0の形になるので、定義できません。

お礼

複素数で表現される物理量で観察されるのは実数部分であると聞きましたが、グラフに描けるというのはこのことなのかと思いました。勉強になりました。有難うございました。