万有引力について。重い物の方が早く落ちる・・・

質問

小さい頃は、りんごは地球に落ちる、と考えていました。しかしながら、それは地球にいる私たちから見た理屈であって、宇宙空間という遠方から見れば互いに引き合っているように見えるのでしょう。
そうなると、物体Ａと物体Ｂが距離ｒで存在するとして、質量はＡ＞Ｂとした場合、それぞれに同じ大きさの引力が働くと思うのですが、衝突するまでのお互いの加速度及び速度は異なると思います。（慣性的にＡよりも質量の小さいＢの方がより加速する）
そこで、また、別の場合、ＡとＣという物体が同じく距離ｒで存在するとして、質量はＡ＞Ｂ＞Ｃとした場合、ＣのＡ方向に対する加速度は、Ｂの場合と同じになりそうな気がしますが、Ａの加速度は、Ｂの場合とＣの場合では異なるように思います。よって、ふたつの物体（ＢとＣ）がＡに衝突するまで（りんごで言えば落下するまで）の時間は異なるように思うのですが・・・
おそらくどこか私の思い違いがあると思います。
指摘していただけたら幸いです。

追記
そもそも加速度というのが互いに存在するのか、それともどちらかの物体からのみ見た相対的なものなのでしょうか・・・

回答No.5

ryn

No.2 です．
質問文を読み違えていたようですね．

3さん，4さんが仰るように地球の加速度は
相手の質量によって異なるので，
衝突までの時間はわずかに異なります．

二体問題の場合の加速度は相手の質量 m に依存して
　a = Gm/r^2
となるので，
　G ≒ 6.7*10^{-11} [m^3 kg^{-1} s^{-2}]
とし，r は物体を地表付近から落とすとして
　r ≒ 6.4*10^6 [m]
とすると
　a ≒ (1.6*10^{-24}) * m
となります．

この式の m に地球質量
　6.0*10^24 [kg]
を代入したものが落とした物体の加速度となりますが，
これはよく知られている
　a ≒ 9.8 [m/s^2]
という値になります．

一方，万有引力定数が小さい（重力は非常に弱い力）のと
地球半径が大きいのとで，地球の加速度のほうは
落とした物体が車くらいの質量（m≒10^3 [kg]）だとしても
　a ≒ 1.6*10^{-24}) * 10^3
　　= 1.6*10^{-21} [m/s^2]
というように，加速度はかなり小さいです．
車どころかビルとか山を落としても 9.8[m/s^2] と比べると誤差になりそうですね．

回答No.4

noname#21219

ニュートン力学でよく言われる"空気抵抗が
なければ羽でも鉄塊でも同じ速さで落ちる"ということと、羽と鉄塊についてそれぞれ万有引力の式を
立てたら相対的な加速度が、羽と鉄塊で異なってくるが、それは定説に矛盾するのではないか？ということですよね。

万有引力については、式を立てればすぐに分かるように物体の加速度は、物体によらずa=GM/r^2です。
地球の加速度a'については、物体の質量mにより
異なりa'=Gm/r^2となりますね。よって、相対加速度は
、中心力であることを考慮し、A=G(M＋m)/r^2となります。つまり、mにより確かに異なってきます。mが大きいほど落下時間は短いと言えるでしょう。間違った考えではありません。

では、"羽と鉄塊で同じ加速度で落ちる"というのは、どこからきているのでしょう。
地球を静止系と見て重力加速度gという場が働いている
とするなら外力はmgです。式はma=mg⇒a=gで物体によりません。つまり、落下時間が物体によらないというのは、万有引力に拡張した二体問題ではなく、地球を十分大きいとしたときの近似です。

なお、それとは全く別に"地球に落下する"のではなく、つまり地球の加速度を考慮せずに"宇宙空間中で羽と鉄塊が地球に向かって運動する時の加速度"とした場合、近似を使う以前に羽と鉄塊の加速度は等しい
と言えます(a=GM/r^2)。ただ、当然それは地球への落下時間の比較という観点が欠けています。

お礼

回答ありがとうございます。
一日悩んだことが報われました。
やはり、地球上から見た近似であったのですね。

回答No.3

ht1914

質問の意味を理解するのに時間がかかりました。理解した範囲で書き換えます。違ってたら言って下さい。

質量の異なる物体（天体としてもいいです）Ａ、Ｂ、Ｃがある。ｍＡ＞ｍＢ＞ｍＣとする。Ａ、Ｂ、Ｃの間で働く力は万有引力だとする。
（１）ＡとＢがｒ離れてそんざいするとする。ＡＢは引力で互いに引き寄せられて衝突する。衝突までの時間をｔ１とする。
（２）Ｂの代わりにＣを考える。後の条件は同じとする。衝突までの時間をｔ２とする。

ｔ１とｔ２の関係は？

これでいいでしょうか

ＢもＣもＡに引き寄せられます。その運動の加速度はＢ、Ｃで同じです。でもＡの運動の加速度は（１）（２）で異なります。ｍＢ＞ｍＣですからＢがＡを引く力の方が大きいです。ＢＣの加速度は同じなのにＡの加速度が異なるわけです。だからｔ１＜ｔ２です。

別の言い方をします。ヒントにして下さい。ＡＢの重心とＡＣの重心を比較します。Ｂの方の質量の方が大きいですからＡＢの場合の方の重心がＡから遠い方にあります。ＡＢが引力で近づいてきてぶつかる場所は重心です。ＡＢの場合の方がＡの動かなければいけない距離が大きいです。Ａが地球でＢＣが地球上の物体である限りこの差は問題になりません。検出不能です。

月が地球に落ちてこないのは月が地球の周りを回っているからです。地球が太陽にぶつからないのも公転しているからです。回転を止めると引力で引き寄せられて衝突します。その時は地球の方が月よりも太陽を引き寄せる力が大きいので先に太陽にぶつかることになります。でも差はわずかでしょう。
回転していてよかったですね。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

ryn

A,B 2つの物体があるときこれら2つの間に働く万有引力 F の大きさは同じです．
同様に，A,C 2つの物体があるときこれら2つの間に働く万有引力 F' の大きさは同じです．
ところが，B,C の質量が異なるとき F≠F' となります．

具体的に見てみると，
　M (地球の質量)
　2m (リンゴの質量)　←ミカンの2倍としたのは適当
　m (ミカンの質量)
　G (万有引力定数)
などとしたとき，
　リンゴの運動方程式：　2m*a(リンゴ) = 2GMm/r^2
　ミカンの運動方程式：　m*a(ミカン) = GMm/r^2
となるので
　a(リンゴ) = a(ミカン)
となることがわかります．

質問者さんの思い違いは，B と C にかかる力が同じとしてしまったことにあると思います．

補足

えーと、地球の加速度が異なるように思うのですが・・・
りんごやみかんと同様に地球も加速するはずです。

回答No.1

pyon1956

単純な問題ですが、つまりAはBとCに引っ張られているから、BとCがあるとき、Aの加速度はBへの加速度とCへの加速度の合成になります。加速度は物体の質量に比例し、加速度は力に比例すし、重力は質量に比例するので、結局Aの質量が変わらなければBもＣも同一の加速度でAに引かれます。
地球とりんごのように質量のスケールが大きく違う場合、地球は制止しているものと考えても大差ないのですが、そうでない場合はもうすこし難しい話になります。（ＢとＣとの間の重力も考慮しなければいけませんし・・・３体問題ですね）
ということで話がややこしくはなりますが、距離が同じなら、基本的にABの間の加速度とAC の間の加速度は同じです。
実際には合成力にたいして考えないといけないので難しくなりますが、Aに対してB,Cの質量が十分小さいなら気にしなくてもいい問題でしょう。