解決頼みます。 賢い方

質問

三角形ABCにおいて、ＡＢ＝4、ＢＣ＝2、ＣＡ＝3
とする。そして、点Dは三角形ABCの外接円の点Bを含まない弧CA上に、ＡＤ:ＤＣ＝5:8であるようにとる。2直線AD、BCの交点をEとする。このとき、三角形ABEの内接円の中心をＩ、2直線AC、BDの交点をFとするとき、三角形EIFの面積は？？

回答No.1

QoooL · ベストアンサー

なかなか手応えのある問題でしたね。
私よりもっとスマートな解答をできる人もいるかも知れません。

答えは　√１５／１６　（１６分のルート１５、以下同様の書き方をします）

です。

ご質問において、

ＣＥ＝　３／２
ＤＥ＝　７／４

ははしょっていらっしゃったので、

ＡＤ＝　５／４
ＣＤ＝　２

は既に求められていらっしゃることを前提として話を進めます。

（△ＡＢＣについて余弦定理よりｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１１／１６
　ＣＤ＝８ｋ、ＡＤ＝５ｋ　とおいて、
　△ＡＤＣについて余弦定理より　ＡＣ＾２（ＡＣの２乗）をｃｏｓ∠ＡＤＣで表すと、
　円に内接する四角形の角の性質より、
　ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝　－ｃｏｓ∠ＡＢＣ　だから、
　ｋ＝１／４　と解ける。）

以下、●印付きは、解答ではなくコメントです。

ＡＥ＝　ＡＤ＋ＤＥ　＝　３
ＢＥ＝　ＢＣ＋ＣＥ　＝　７／２

●ＡＣが∠ＢＡＣの角の二等分線になっているのではないか、という仮説を証明して行きます。

△ＡＢＣについて余弦定理より　ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝　７／８
△ＡＣＥについて余弦定理より　ｃｏｓ∠ＣＡＥ＝　７／８
０°＜∠ＢＡＣ＜１８０°、０°＜∠ＣＡＥ＜１８０°より、
∠ＢＡＣ　＝　∠ＣＡＥ

●または、ＢＣ＝ＤＣ　より、二等辺三角形であることを利用して、円周角どうしを見つけながら証明しても良い。

よって　Ｉは直線ＡＣ上にある。

●（内接円の性質より。）
もしもＩがＡＣ上にないとしたら、この問題はかなりややこしくなりました。
「思い込み」は厳禁ですが、なるべく正確な図をフリーハンドで描いて、「ひょっとして」と考えてみることは大切です。
添付した図では、Ｉの位置をわざとＡＣから少しだけずらしています。
問題文で与えられた仮定だけでは、きれいに直線上に来るかどうかわかりませんからね。

△ＡＢＥについて余弦定理より　ｃｏｓ∠ＢＡＥ＝　１７／３２
０°＜∠ＢＡＥ＜１８０°より　ｓｉｎ∠ＢＡＥ＝　７√１５　／３２
（３２分の７ルート１５）
△ＡＢＣ（面積）＝　１／２　・ＡＢ・ＡＥ・ｓｉｎ∠ＢＡＥ＝　２１√１５　／１６

内接円の半径を　ｒ　とすると、

△ＡＢＣ＝　１／２　・（ＡＢ＋ＢＥ＋ＡＥ）・ｒ

連立して、ｒ＝　√１５　／４

●ここからいよいよ大詰めです。
わからない長さはわからないまま解いて行きます。

与えられた内接円とＡＥとの接点を　Ｈ　とおくと、△ＩＨＡは　∠ＩＨＡ＝　∠Ｒ　の直角三角形

△ＩＡＥ＝　１／２　・ＡＥ・ｒ　＝　３√１５　／８

ＡＨ＝　ＡＩ・ｃｏｓ∠ＣＡＥ＝　７／８　・ＡＩ

ここで△ＩＨＡについて三平方の定理を用いると

ＡＩ＾２　＝　ｒ＾２　＋　４９／６４　・ＡＩ＾２

これを解いて　ＡＩ＝　２

●一方、ＡＦを求めます。

△ＦＡＢ　と　△ＦＤＣ　は相似
（∠ＡＦＢ　＝　∠ＤＦＣ、
　∠ＦＡＢ　＝　∠ＦＤＣ　（円周角））

よって　ＣＦ：ＢＦ　＝　ＤＦ：ＡＦ　＝　ＣＤ：ＢＡ　＝　２：４　＝　１：２

ＡＦ＝　２ＤＦ

また、△ＦＡＤ　と　△ＦＢＣ　は相似
（∠ＡＦＤ　＝　∠ＢＦＣ、
　∠ＦＡＤ　＝　∠ＦＢＣ　（円周角））

よって　ＡＦ：ＢＦ　＝　ＤＦ：ＣＦ　＝　ＡＤ：ＢＣ　＝　（５／４）：２　＝　５：８

ＣＦ＝　８／５　・ＤＦ

ＡＣ＝　ＡＦ＋ＣＦ　＝　１８／５　・ＤＦ　＝３

よって　ＤＦ＝　５／６

よって　ＡＦ＝　５／３
　　　　ＣＦ＝　４／３

以上より　ＩＦ＝　ＡＩ　－　ＡＦ　＝　１／３

よって　ＩＦ：ＡＩ　＝　１：６

△ＩＦＥ＝　１／６　・△ＩＡＥ＝　√１５／１６

以上

お礼

ありがとうございます。 こんなに詳しく書いてくれた方は初めてです^_^

回答No.2

QoooL

ちなみに、回答受付数が１３もあるのに　お礼率０％　というのは、回答者のほとんどが、あまりよくは思わないですよ。
回答が他と比べてなかなか付かなかったのももしかしてそれでは？

お礼

知りませんでした{(-_-)}
今は100％までもっていきましたよ(^-^)