パワースペクトルって何？

質問

パワースペクトルとは、どの様なものなのでしょうか？　たとえば、あるテクスチャーに128*128の関心領域を設定し、二次元フーリエ変換を用いて求めたパーワースペクトルとはどんなものなのでしょうか？　数学オンチな私にはよくわかりません。　優しく教えていただける方、よろしくお願いします。

回答No.1

chukanshi · ベストアンサー

いきなり２次元の問題は難しいので、１次元で考えましょう。
フーリエ変換はご存知ですね？関数f(x)をフーリエ変換すると、
F(ω)=∫(-∞から∞)f(x)*exp(iωx)dx
となります。このフーリエ変換した結果の絶対値、
|F(ω)|がパワースペクトルというものです。

２次元のフーリエ変換ですと、
F(ω_x,ω_y)=∫(-∞から∞)f(x,y)*exp(iω_x*x)+iω_y*y)dxdy
ですから、
|F(ω_x,ω_y)|がパワースペクトルですね。
x-y平面状にパワースペクトルの曲面が描けるはずです。

問題のように、128*128の領域というと、
メッシュを切ってあるかもしれませんので、
F(ω_x,ω_y)=Σ(0から128)f(x,y)*exp(iω_x*x)+iω_y*y)
という離散のフーリエ変換になるのかもしれませんが、
パワースペクトルは
|F(ω_x,ω_y)|となります。

お礼

ありがとうございました。
勉強不足故、完全には理解できませんが、何となくイメージがわきました。

回答No.2

nubou

Ｘ，Ｙをそれぞれ正の実数としｘ，ｙをそれぞれ実数の変数とし
ｇ（ｘ，ｙ）をｘとｙの実数値関数とし
ｇ［Ｘ，Ｙ］（ｘ，ｙ）≡ｇ（ｘ，ｙ）　（｜ｘ｜≦Ｘ／２　ａｎｄ　｜ｙ｜≦Ｙ／２）とし
ｇ［Ｘ，Ｙ］（ｘ，ｙ）≡０　（Ｘ／２＜｜ｘ｜　ｏｒ　Ｙ／２＜｜ｙ｜）とし
Ｇ［Ｘ，Ｙ］（ξ，η）≡
∫∫（ａｌｌ）ｄｘｄｙ・ｇ［Ｘ，Ｙ］（ｘ，ｙ）・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・（ξ・ｘ＋η・ｙ））
としたときｇ（ｘ，ｙ）のパワスペクトル密度Ｐｇ（ξ，η）は
Ｐｇ（ξ，η）≡ｌｉｍ（Ｘ→∞，Ｙ→∞）・｜Ｇ［Ｘ，Ｙ］（ξ，η）｜＾２／（Ｘ・Ｙ）
である

（４・Ｐｇ（ξ，η）をパワスペクトル密度とする考えもある）

お礼

ありがとうございました。