化学工学の問題です。

質問

比熱容量3.6kJ・kg－1・K－1の油が外径90mmで厚さ4mmの管を毎時2000kgの割合で流れている。管長は5mで外側は110℃の水蒸気で加熱されている。油の入り口温度は15℃で出口温度は80℃である。このときの総括伝熱係数を求めよ。また，加熱蒸気温度を120℃としたら，油の出口温度はいくらになるか。ただし総括伝熱係数，伝熱面積はか変わらないものとする。という問題で総括伝熱係数まで求めることができたのですが，その先が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#57316 · ベストアンサー

定常状態を考えます。

式を立てるため、変数、パラメーターを以下の記号で表わすことにします。

油の比熱容量　c_o（kJ/kg/℃)
油の流速　v(m/hr)
油の質量速度　G(kg/hr)
管外径　R(m)
管内径　r(m)
管の長さ　L(m)
水蒸気温度　T_s(℃)
油入り口温度　T(0)(℃)
管の入り口から測った管の距離（長さ）　x(m)
管の入り口から、x の距離における油の温度　T(x)(℃)
管外から管内への熱伝達の総括熱伝達係数　U(kJ/m2/hr/℃)

油の密度（後で、消えます）、これを ρ(kg/m^3) とします。

管の入り口から x～x+Δx の管の部分における、時刻 t～t+Δt の間の
熱のバランスを考えます。

Δt 時間に油の流れる距離は、vΔt
x の位置で熱を持った油が入り、x+Δx の位置で熱を持った油が管から
出るので、管の当該部分の受け取る熱量は、
c_o・ρ・vΔt・A_c・{T(x)-T(x+Δx)} です。
ここで、A_c は油を通す管の面積で、(πr^2)/4 です。
Δx が極めて小さい時、T(x+Δx)=T(x)+(dT/dx)・Δx と表わせるので
T(x)-T(x+Δx)=-(dT/dx)・Δx となります。

従って、油が Δx 流れる間に受け取る熱量は、
c_o・ρ・vΔt・A_c・{-(dT/dx)・Δx}
ρ・v・A_c は、油の質量速度、G に等しいので
c_o・GΔt・{-(dT/dx)・Δx}

定常状態を考えているので、上の熱量と水蒸気が油に与える熱量の和が
0 になっていなければなりません。（そうでなければバランスしない）
管の x～x+Δx の部分に水蒸気が与える熱量は、水蒸気と油の温度差が
T_s-T(x) であるから、
AΔx を管の当該部分が蒸気によって加熱される部分の断面積とすると、
AΔx・U・{T_s-T(x)}・Δt となります。
当然、AΔx=2πR・Δx です。
（A は、管単位長さ当たりの表面積）

従って、バランスの式は、
AΔx・U・{T_s-T(x)}・Δt+c_o・GΔt・{-(dT/dx)・Δx}=0
∴　c_o・G・{dT(x)/dx}=A・U・{T_s-T(x)}

式を簡単にするため、(A・U)/(c_o・G)=α とします。
すると、{dT(x)/dx}+α・T(x)=α・T_s
この微分方程式は、積分因子、e^(αx) を掛けると簡単に解けます。
e^(αx)[{dT(x)/dx}+α・T(x)]=α・T_s・e^(αx)
左辺は、d{e^(αx)・T(x)}/dx なので、x で積分すると、
{e^(αx)・T(x)}[x=0～L]=∫[x=0～L]{α・T_s・e^(αx)}dx
右辺は、{T_s・e^(αx)}[x=0～L]
故に、e^(αL)・T(L)-T(0)=T_s・e^(αL)-T_s

両辺に、e^(-αL) を乗じると
T(L)-T(0)・e^(-αL)=T_s・{1-e^(-αL)}
つまり、T(L)=T(0)・e^(-αL)+T_s・{1-e^(-αL)}
または、T(L)=T_s-{T_s-T(0)}・e^(-αL)

ここで、数値を代入します。
α=(A・U)/(c_o・G)=(2πR・U)/(c_o・G)
=(2・3.14・0.090・U)/(3.6・2)=0.0785・U
T(L)=80
T_s=110
T(0)=15
L=5

∴　80=110-(110-15)・e^(-0.0785・U・5)
30/95=e^(-0.0785・U・5)
ln(30/95)=-0.3925・U
U=-ln(30/95)/0.3925=2.937

加熱蒸気温度が 120℃ の時は、
T(L)=120-{120-15}・e^(-0.0785・2.937・5)=86.845℃

念のため、次元を確認します。
α・L【[(m)・{kJ/(m2・hr・℃)}]/〔[{kJ/(kg・℃)}]・[kg/hr]〕】・[m]、
α・Lは無次元。

補足

詳しい説明ありがとうございます。
一つ質問ですが，数値を代入するときのＧの値が2ですが，これはどういう値でしょうか？

回答No.3

noname#57316

G は、単位を(ton/hr)で表わした質量速度です。
G=ρ・v・A_c
ですから、ρを (gr/cm^3) 単位で表わした時、Gの次元は、
(ton/m^3)・(m/hr)・(m^2)=(ton/hr) となるので、
2000(kg/hr) を 2(ton/hr) としたのです。

お礼

回答ありがとうございます。
G の単位は(ton/hr)なのですね。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

aralle

常識的に考えて，総括伝熱係数が求まったなら，その先は簡単ですよね・・・

どこまで求まったのか式で示してください．

補足

油の流量W＝0.556kg・s－1
Ｑ＝0.556×3.6×（80－15）＝130ｋJ・s－1＝1.30×10の5乗J・s-1
管外表面積をＡ　A＝π×0.09×5.0＝1.41m3
対数平均温度差ΔTｌm　＝　95－30／ｌｎ（95／30）＝56.4℃
Ｑ＝UAΔTより
1.30×10の5乗＝U×1.41×56.4
　　　　　　U＝1630Ｗｍ-2Ｋ-1
水蒸気量が120℃の場合
油の出口温度をｘ℃とすると，ΔT1＝120－15＝105　ΔT2＝120－ｘ　とする。
式に代入すれば求めることができると思うのですが，ｌｎの計算が解けません。計算過程を詳しくおねがいします。よろしくお願いします。