ラグランジュの未定乗数法

質問

参考書を読んでいると、よくラグランジュの未定乗数法が出てきますが
その未定乗数法で、適当な定数としてλ（ラムダ）をかけて計算していますが
このλの意味は何でしょうか
これを説明している本が見つからなくって・・・

回答No.4

motsuan

たとえばルジャンドル変換の共役な変数みたいなものと考えればいいのではないでしょうか？

たとえば熱力学においてエネルギーＵが体積V（示量変数）に対して
Ｕ＝Ｕ（Ｖ）
で与えられているとき、体積一定Ｖ0でエネルギーを最小にしようと思うとｐをパラメータとして
Ｕ＝Ｕ（Ｖ）＋ｐ（Ｖ－Ｖ0）
として（ルジャンドル変換ですね）、勝手なＶでＵを最小にするものＶeqを選びます。このとき、Ｖeqはｐをパラメータとして含みます。したがって、ＵはＶeqをとおしてｐの関数となります。このときの熱平衡条件（ｐを変数としたとき、エネルギー変化が無くなるＶを選ぶ＝つまり外界からの体積の流入によって熱平衡に達したという条件）が
∂Ｕ／∂ｐ　＝　Ｖeq（ｐ） －Ｖ0　＝０
で、束縛条件に他なりません（これを満たすｐを決めるのがラグランジュの未定乗数決定法です）。つまり、Ｖが変数だった系からＶに揺らぎがあるような系に移って最小をあたえるものとしてＶがきまり、そのときのパラメータがｐとなるという意味です。熱力学をやっていれば、ｐは圧力（Ｖに対する示強変数）でなければならないことは明らかです。・・・という具合に物理では単なる係数としてではなく意味のある物理量が出てくることが多いです。

でも、分かりやすいのは、長さｌの糸でつるされた（束縛された）系
　Ｌ＝1/(2m){(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-gy+λ(x^2+y^2-l)
を適当に近似して単振動運動を再現してみてλが何であるか見てみれば係数が重要な意味があることが分かると思います。（というか次元解析をすればそりゃそうだという感じなんですけどね）

回答No.3

noname#1499

ちょっと、下の私の答え方が端的過ぎて悪かったですかねぇ。。反省してます、。
siegmundさんが下で書いてる通り、λは（条件式に乗ずる未だ定まっていない）変数なんですけど。

説明している本は、例えば「解析力学」の中のLagrange方程式を導くさいに、未定乗数法を用いてやり方もよく載っているのですが。手元に本がないので本の名前が分からないのでなんとも言えませんが探せばすぐみつかると思いますよ。

でも、実際のところあんまし意識しないことってありますよね。偏微分してもとまっちゃえばOk～っでほとんど済ましちゃってますし。分野によってはだんだん使わなくなってきてしまいますし。

回答No.2

siegmund

> ずれを補正するためにあるってことでしょうか

λはずれの補正ではありません．
こういうことを書かれているところを見ますと，
大変失礼ですがラグランジュの未定乗数法の理解が不十分なように思われます．

ラグランジュ未定乗数法は，
関数の拘束条件付き極値や拘束条件付き変分法などのときに用いられます．
拘束条件が付いていると面倒なので，
拘束条件をなくしてしまえというのがこの方法の精神です．
ただし，何も代償を払わないで拘束条件がなくなるなんてうまい話は
普通はありません．
ラグランジュ未定乗数法では，拘束条件を１つなくす代わりに，
独立変数が１個増えます．
その増えた変数がλです．

問題を解いた後に，λは自然に定まります．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
で，stomachman さんが一般論を，私が易しい例題を回答していますので，
まずはそちらをご覧下さい．
私の例題の(1)(3)(4)から極値の時のx,ｙ，λが定まります．

お礼

うう～、皆さんにいろいろと親切に解説していただいたのに、やっぱりまだわかりませんでした
私の基礎学力不足が一番の問題と思い、物理数学の本などをもう一度読み直すことにしました
今回はありがとうございました

回答No.1

noname#1499

λ：未定乗数
では駄目ですか？

お礼

む！？
ずれを補正するためにあるってことでしょうか
だったら私はいったい何を考えてたんでしょう・・・