ラグランジュの未定係数法について

質問

拘束条件が１つの場合のラグランジュの未定係数法は分かるのですが、拘束条件が2つ以上の場合にはどのような式で表されるのかが分かりません。どなたか教えてください。
また、この質問に関する参考文献・URL等がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

n個の変数の組X=(x_1, x_2, ... , x_n)について束縛条件 g_k(X)=0　（k=1,2,...,m)のもとで関数f(X)が極値をとるときのXを求めます。f(X)が極値をとるならば、
（ア）Σ[k=1 to n](∂f/∂x_k)dx_k = 0
（イ）Σ[k=1 to n](∂g_p/∂x_k)dx_k = 0　　（p=1,2,...,m)
ここに別のm個の変数の組Λ=(λ_1, λ_2, ..., λ_m)があって、それらが適切な値をとったとき
（ウ）(∂f/∂x_s) - Σ[p=1 to m]λ_p(∂g_p/∂x_s) = 0　　（s=n-m+1,...,n)
が成立したとします。（ア）から、（イ）の各式にそれぞれλ_pをかけたものを引くと、
（エ）Σ[k=1 to n-m](∂f/∂x_k)dx_k - Σ[p=1 to m]Σ[k=1 to n-m]λ_p(∂g_p/∂x_k)dx_k = 0
この式に含まれる(x_1,...,x_n-m)は独立に変化できるので、
（オ）(∂f/∂x_k) - Σ[p=1 to m]λ_p(∂g_p/∂x_k) = 0　　（k=1,..,n-m)

ここで、h(X,Λ)=f(X)-Σ[p=1 to m]λ_p g_p(X)
とおくと、hが極値をとる条件は
（カ）∂h/∂x_k = 0　　（k=1, ..., n)
（キ）∂h/∂λ_p = 0　　(p=1, ..., m)
この（カ）は、（ウ）と（オ）を合わせたもので、（キ）は元の束縛条件そのものです。したがって、（カ）と（キ）が成り立つようにXとΛを決定すれば、それが最初の問題のXの候補となります。これがラグランジュの未定係数法です。

（参考）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.html
http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm

参考URL：

http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm

補足

詳しく説明していただき、ありがとうございました。
教えていただいたURLの１つ目（http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.html
）について質問があります。このURLの説明の中ほどに次のような説明がありました。

２．　拘束条件が、g1（x1、x2、・・・、xn）＝0、・・・、gm（x1、x2、・・・、xn）＝0、と m 個ある場合は、
適当なλを変数に加えた（m+n）変数関数：

（ク）h（x1、x2、・・・、xn、λ）＝f（x1、x2、・・・、xn）＋λ1g1（x1、x2、・・・、xn）＋・・・＋λmg1（x1、x2、・・・、xn）

が極値をとる必要条件（m+n個の等式）に等しい。（ただし、m＜n）

上の式（ク）の右辺は

f（x1、x2、・・・、xn）＋Σ[p=1 to m]λ_pg1（x1、x2、・・・、xn）

となっていて、（オ）のg_pの部分と矛盾している気がするのですが、（ク）と（オ）はどちらが正しいのですか？

回答No.2

shkwta

No.1の補足への回答です。

＞（ク）h（x1、x2、・・・、xn、λ）＝f（x1、x2、・・・、xn）＋λ1g1（x1、x2、・・・、xn）＋・・・＋λmg1（x1、x2、・・・、xn）

最後の項を
＋λmgm（x1、x2、・・・、xn）
に訂正してください。

お礼

分かりました。詳しく説明していただき、ありがとうございました。