n^(-1)の総和は存在しますか？

質問

タイトルの通りです。
ｎの乗数が０以上の整数ならば、総和式がありますが、負の整数であればどうなのでしょうか？

いつの号か忘れましたが雑誌「Newton」でn^(-1)を無限に足すと無限大に発散することを知りました。
その際、総和式を提示してくれなかったことに疑問を持ち、今日に至っております…

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

問題の級数が対数的に発散するのは tatsumi01 さんの言われるとおりです．
自然数の逆数の和は
1+2+3+4・・・+k=k(k+1)/2
のようにわかりやすい形にはなりませんが，
digamma(ディガンマ)関数を用いて表現できます．
既出の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=442446
をご覧下さい．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=442446

お礼

既出の質問でしたか！すいません！！
どうもこの問題は高校3年並みの数学力では歯が立たないようですね…残念です。

リンク先の回答と、この質問への回答重ねて感謝します！！

回答No.4

age_momo

#2さんの言われるように、いわゆる一般式では与えられていないと思います。
何よりΣ[n=0→∞]1/n=∞の証明は#1さんのURLの方法で証明されているのは
よく見かけますが、級数を一般式で表してその極限として∞になると説明している
のは見かけませんから、質問者さんが言われる『総和式』では表されていない
のだと思います。また、

Σ1/k^n・・・・・(1)

においてnが偶数の場合、無限級数が円周率πに関わる数字になることは
オイラーが証明していますが、これもあるkまでの級数の一般式から証明している
わけでは有りませんので(1)の一般式は現時点で有るとは思えません。
(nが奇数の場合は未だに無限級数がどこに収束するかも
分かっていないようです)

参考URL：

http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku4.htm

お礼

回答どうもありがとうございます。
有限回で総和を打ち切るということが更に問題を難解にしているようですね。

＞わけでは有りませんので(1)の一般式は現時点で有るとは思えません。

「現時点では」というところに非常に惹かれました。
もしかしたら、将来発見されるのかも？なんて思うとまだ当分寝不足が続きそうです（汗

いっそのこと不可能であることを証明してほしいですが、「現時点」ではそれもないのですよね

回答No.2

tatsumi01

総和式の意味がわかりませんが、第k項までの和を kで一般的に表す式はないと思います。

問題の級数は発散するのですが、第k項までの和を
Sk = 1/1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/k
と書きます。

ところで、和 Sk を関数 y = 1/x の積分で近似しますと (グラフを書けば判りますが、双曲線とx軸とが囲む面積によって階段関数の面積 Sk を近似したことになっています。)
Sk ≒ ∫(1→k) 1/xdx = log k - log 1 = log k
ですね。これから Sk が発散することが感覚として掴めるでしょう。

上の近似誤差
γ = (lim(k→無限大) Sk - log k)
はオイラーの定数と呼ばれ、0.5772... になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

1+2+3+4・・・+k=k(k+1)/2
1^2+2^2+3^2+4^2・・・k^2=k(k+1)(2k+1)/6

上に挙げた式の右辺のように、変数に任意の数字ｋを入れればｋ項までの和が瞬時に求まるような式のことを勝手に「総和式」と呼んでいます（汗
造語を使い、わかりづらくして申し訳ありません！！

回答No.1

iwaiwaiwa

こんな感じでいかがですか？
一般式ではないですが…。

参考URL：

http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku41.htm

お礼

おおおぉぉ！！目からウロコとはこのことを言うのですね！！大変参考になります！！