私の間違いを教えてください

質問

方程式x^2+mx+3=0が次の条件を満たすように、定数mの値の範囲を求めよ。
2つの解がともに-1より小さい。

で、解答が2√3≦m＜4なんです。
この答、あってるんでしょうか？

ax^2+bx+cのときの-b^2-4acをDとすると、この場合、D≧0ですよね。
そうすると、-m^2-12≧0となり、m≦2√3，-2√3です。
そして、この方程式の軸が-1より小さくないといけないので、
-2/m＜-1となり、m＞2になります、
そして、f(-1)＞0なので、m＜4です。

なぜ、答えが2＜m＜4でないのですか？

私の解き方のどこが間違ってるか教えてください。
教科書の例文どうりにやってるつもりなんですが…

回答No.8

pyon1956 · ベストアンサー

＞2つの解がともに正。というときは、どうなりますか
何度も一人で書いてすみません。以上の考察から、x=0のときy=x^2+mx+3の値は3ですから、この場合は「D≧0かつ軸がy軸より右」で良いわけです。
この場合も不等式の解は同様にm≦-2√3 , 2√3≦mで、頂点が-m/2>0（ここも分子と分母を逆にしてますね。要注意）よりm<0
共通部分を取ってm≦-2√3で良いはずです。
要は
1)判別式を覚え間違っているか、あるいは-mを代入する時に間違えているか、いずれにせよ判別式から導かれる2次不等式が正しくない
2)2次不等式のときかたが正しくない
の2点です。なお、軸の式ももう一度確認しておいて下さい。

お礼

自分の間違いがわかりました。
たぶん、二次方程式の解き方を間違えていました。
m^2-12≧0は
(m-2√3)(m+2√3)≧0
m≦-2√3，2√3≦0なんですね。
これを、
m^2≧12
m≧2√3，-2√3　としていました。
考えてみると、これはおかしいですよね。
ありがとうございます。

回答No.9

chiropy

x^2+mx+3=0=f(x)
とします。またf(x)=０の判別式をDとします。
二次方程式の解配置問題ですね。これは二解同区間型です。（ここでは書けませんが実際にグラフを書くと分かりやすくなります。）

二解持つのでD≧0です。（＊単に二解といわれれば重解も含みます。例えば(x-1)^2=0の二解は1,1の二つです。通常解答では1としか書きませんが。）
二次の係数が1つまり正なので下に凸の放物線になります。軸＜－1⇔-2/1＜-1
最後にf(-1)＞0（＝を含まない）を考えます。

以上まとめると
m^2-12≧0
-m/2＜-1
4-m＞0
の連立不等式を解けばOKです。他の方も指摘していますが判別式を間違えていただけで考え方はあっていると思います。ただ軸はx=-m/2で、質問文にある-2/mではありません。（書き間違えでしょうが。）
以下解いてみると
m≦-2√3、2√3≦m
2＜m
m＜4
よってこれらの共通部分を探すと2√3≦m＜4となります。

お礼

ありがとうございます。
間違っているところがわかりました！

回答No.7

pyon1956

#6さんのお考えは一般論としてはともかく、この問題についてはきにしなくてもいいんじゃないでしょうか？

この問題の場合、y=x^2+mx+3のグラフは下に凸なグラフですから、「軸がx=-1より左で、かつx=1の時の値が正で、さらに判別式が正（または０）のとき」、という場合x--1より右側でx軸と交わることはあり得ません。
判別式から、頂点のy座標は負または０で（下に凸ですから）、ということは頂点からx=-1の区間でy=x^2+mx+3は増加の状態になります。2次関数なので下に凸の場合頂点より右でこれが減少に変わることはあり得ないので、x=-1より右で、x軸と交わることはありません。

回答No.6

hyeon

グラフの軸が－1より左側にあっても、グラフが－1の右側でもＸ軸と交わる場合があるので、ｍ＞2は意味がないのではないでしょうか？

回答No.5

pyon1956

#4です。ついでながら、「2つの解がともに」とあるときは、通常はD=0の場合は除いた方が良いように思います。つまり「2つの解がともに」といういいかたは日本語としては重解ではない、という意味に取れるからです。ですので私たちこういう問題を出題する側の場合、ただし、重解の場合を含む、とかいった但し書きを添えるのが普通です。

これは2次方程式ax^2+bx+c=0と言った場合などもそうで、2次といっているのだからa≠0と考えて良い、と理解されます。（そうでない場合を考察して欲しい時は「2次方程式」と書かないわけです。単にax^2+bx+c=0のとき、という書き方をするわけです。）

少なくとも私が採点するのなら原文がこのままのとき、2√3<m<4という解答に対して×をつけることはできないし、他の教師がそうすることにも反対します。むしろ≦で答えた方に丸をつけるかどうかが問題になると思います（多分まるをつける。ただし、問題の解説でどうしてそうなのかをちゃんとふれておく）。

お礼

ありがとうございます。
私も最初はそう思って、>をつかっていたんですけど、この問題が載っている、私の学校の問題集は、同じような例文も、答えも全部D≧0になってるんですよね。
また、その辺は、夏休み明けに先生に聞いてみます！

回答No.4

pyon1956

皆さんも仰るように解の公式を間違えて覚えていらっしゃるようですね。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/kainokoshiki/
つまりD=b^2-4acで、bにマイナスはつきません。
教科書をよく見ましょう。
この場合判別式は
D=(-m)^2-12≧0ですから-m^2-12≧0ではなく、m^2-12≧0になります。またこの2次不等式の解は
m≦-2√3 , 2√3≦mです。

（蛇足ですが元の不等式-m^2-12≧0があっていたとするとこれは解なしです。-m^2-12＝-(m^2+12)<0ですから。またm^2-12≦0を解いたとしてもm≦，-2√3、という書き方はしてはいけません。その場合は-2√3≦m≦2√3です）

回答No.3

rosa-gallica

x = ｛-b ± √(b~2-4ac)｝/ 2a
のルートの中身の正負を以って解を判別するのだから、
D = b~2-4ac ですよ

回答No.2

tenchu

＃１さんの指摘の通りでは？？
ｘ＝（－ｂ±√ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ
ですよね？
不等号の向きが変わりますよね。。？

補足

そうですね…すいません。
でも、そうすると、同じ問題中の別のタイプがわからなくなるんです。

2つの解がともに正。というときは、どうなりますか？
解答はm≦-2√3なんですよ。

やっぱり、D≧0なので、m≧2√3と-2√3ですよね。
で、軸が-2/m>0なので、m＜0
f(0)＞0
こうすると、答えは-2√3≦m＜0になる気がするんです。。。

回答No.1

reachippatu

D=m^2-12≧0 ではないですか？

補足

D=-b^2-4acなので、-m^2だと思います。。。