確率 ｍ枚のカードから1枚取り出す

質問

１からｍまでの番号が１つずつ書いてあるｍ枚のカードが入っている箱がある。この箱から1枚取り出してはまたもとに戻す操作をｎ回繰り返し、第i回目に取り出したカードの番号をAiとする。A1≧A2≧A3≧・・・・≧Anとなる確率をp（m,n）で表すとき、次の値を求めよ。
(1)p(2,n)
(2)p(3,n)
(3)p(4,7)
(4)p(4,n)

この問題を解いているのですが僕にとってかなり難問です。
とりあえず(1)なのですが、２がずっと続いて途中で１になるような確率を出せばいいのではないかと考えたのですが、「何個目で１に変わるのか」をどう表すのかがよくわかりません。1回目で変わる、2回目、3回目と分けようと思ったのですが、ｎなので無理でした。
こういう場合、確率はどのようにして出すのでしょうか？教科書や傍用問題集では見たことのないタイプです。
回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

回答No.3

Anne_Sofie · ベストアンサー

1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m
⇔
1≦A_n ＜A_(n-1)+1＜A_(n-2)+2＜A_(n-3)+3＜ …… ＜A_3+(n-3)＜A_2+(n-2)＜A_1+(n-1)≦m+(n-1)

であるから、

1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m を満たすような
カードの取り出し方は C(m+n-1,n)=(m+n-1)!/(n!*(m-1)!) 通りだけある。
よって、
p（m,n)=((m+n-1)!/(n!*(m-1)!))/(m^n).

たとえば、

(4) p(4,n)
=((4+n-1)!/(n!*(4-1)!))/(4^n)
=(n+1)(n+2)(n+3)/(6*4^n).

回答No.4

stomachman

んーと、No.3が出たことだし、もうスレスレまでヒントを出しておきます。

No.2をさらに単純化するには、
A[0] =m
S[0] = A[0]-A[1]
とすれば良い。
すると
m-1 = S[0]+S[1]+…+S[n]
ですが、これはどういうことかというと…

回答No.2

stomachman

いきなり確率を考えるより、まず場合の数で考えるのが良さそうです。以下、見やすくするために記号を変えて、AiをA[i]のように書くことにします。

　「A[1]≧A[2]≧・・・・≧A[n]」となった場合を「成功」、それ以外を「失敗」と呼ぶことにしましょう。
　n回カードを引いたときに起こりうる場合の数は、「成功」も「失敗」もひっくるめると、もちろん(m^n)通りあります。あとは、そのうち「成功」の場合が何通りあるかを数えれば良い。

　ここで、
u = A[1]-1
A[n+1] = 1
S[i] = A[i]-A[i+1]
と定義しますと、
u= S[1}+S[2]+…+S[n]
です。
　そして、「成功」とは
S[i]≧0 (i=1,2,…,n)
であることと同じです。

これはどういうことかというと、

　「A[1]（=u+1)を或る値に決めたときの「成功」の場合の数は、

『u個のボールがあります。これをn人で分けるやり方は何通りありますか。ただし、ボールがひとつも貰えない人があっても構いません。』

という問題の場合の数（これをN(u)としましょう）と同じ。」

ってことですね。（i君が貰ったボールの個数がS[i]という訳です。）これは「重複組み合わせ」の問題ですから、　
N(u)= nHu = (u+n-1)Cu = (u+n-1)!/(u! (n-1)!)
です。

　従って、「成功」の場合の数は
ΣN(u) (Σはu=0,…,m-1)
通りある。

回答No.1

redowl

（１）で
n=2のとき　（２、２）（２、１）（１、１）（１、２）の４通り
そのうち　A1≧A2を満たすのが　３通り

n=3の時　　（２、２、２）・・・・　省略・・・　　の８通り
そのうち　A1≧A2≧A3を満たすのが　４通り

n=4の時　　　省略・・・・・・　の１６通り
そのうち　A1≧A2≧A3≧A4を満たすのが　５通り

規則性を見つけましょう。　分子は１ずつ増えてるし、分母は2^nだし・・・・