次の問題の解き方を教えてください。

質問

「f(x)=2x/(x^2+1)の増減、凹凸を調べて極値と変曲点を求めよ。」

f´(x)={-2(x+1)(x-1)}/(x^2+1)^2 f´´(x)={-12x(x^2-1/3}/(x^2+1)^3 まで微分をしましたが、二階微分した式をどのような値を取る式としてみれば良いのかイマイチ分からず(-12xはx<0でy>0、x^2-1/3はx<-√1/3,√1/3<xの範囲でy>0 ?)計算が進みません。ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

>「f(x)=2x/(x^2+1)の増減、凹凸を調べて極値と変曲点を求めよ。」
こういう問題は増減表を作るとf(x)の変化の様子が見通せて、「増減、凹凸。極値、変曲点」等が分かりやすいと思います。草原表の作り方は教科書に載っいぇいますから作るようにしてください。

>f'(x)={-2(x+1)(x-1)}/(x^2+1)^2
これは合ってます。

>f"(x)={-12x(x^2-1/3}/(x^2+1)^3 まで微分をしましたが、
これは間違っています。
正：f"(x)=4x(x^2-3)/(x^2+1)^3=4x(x+√3)(x-√3)/(x^2+1)^3

>二階微分した式をどのような値を取る式としてみれば良いのかイマイチ分からず
教科書に書いてありますから復習して確認ください。
f"(x)=0を満たす x=0,+√3、-√3が y=f(x)の変曲点になります。
f"(x)<0を満たす x<-√3,0<x<+√3 の範囲で y=f(x)のグラフは上に凸になり、、
f"(x)>0を満たす-√3<x<0,+√3<x の範囲で y=f(x)のグラフは下に凸（つまり凹）
になります。
なお、f"(x)の符号は、分母(x^2+1)^3>0なので 分子の　x(x+√3)(x-√3)の符号を
考えればよい。
また、f'(x)=0を満たすx=-1,1(停留点、極値候補点)でf"(x)の符号を調べれば
y=f"(x)が上に凸か下に凸かが判るので、f(-1),f(1)が極大値か、極小値かが判定できます。実際にf(-1),f(1)を計算してみるとf"(-1)=1>0,f"(1)=-1<0なので
x=-1ではy=f(x)は下に凸でありf(-1)=-1は極小値f(-1)=-1、
x=1ではy=f(x)は上に凸で極大値f(1)=1をとることが判ります。、

>(-12xはx<0でy>0、x^2-1/3はx<-√1/3,√1/3<xの範囲でy>0 ?)計算が進みません。
間違ってるf"(x)で論じても意味ない。

回答No.1

Tacosan

「分母が全域で正」というのは言及しておいた方がいいけど, 基本的にはあなたが書いたものであっています.