古典統計と量子統計

質問

量子統計は温度が低温、量子の質量が微小、そして、高密度のときに、その逆のときに古典統計が使われます。
しかし、これはどういう理由からくるのでしょうか？
分からないので教えていただけないでしょうか？
できれば、数式の方が一般的で分かりやすいので数式による説明でお願いしたいです。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

数式で説明しようとしたら、例えば固体の比熱が
古典統計では調和振動子モデルを仮定したら、
温度によらず一定になる:3Nk=3R(一モル当たり)
これは、内部エネルギーがU=3RTとあらわせるからです。それを微分してC(比熱)=3R
何故、内部エネルギーが3NkTとなるかというと、
古典統計のエネルギー等分配則により一自由度あたり1/2kTの
エネルギーがあるから、そして一つの振動子につき
自由度は２であり、それがx,y,z方向で3つ振動子があることと、N個の原子数を考慮し、U=3NkTとなります。
U=[∫∫...Σ(p^2/2m＋1/2kx^2)e^-βΣ(p^2/2m＋1/2kx^2)dxdp]/∫∫..e^-βΣ(p^2/2m＋1/2kx^2)dxdp
=Σ(1/2β)=3NkT

この、比熱が温度によらず一定だという結果は、
実験値とは低温で異なります。高温では一致します。
低温では、比熱の実験値は0に近づきますが、これは調和振動子のエネルギーを(n＋1/2)hνとして統計平均をとったもの,を微分したものに一致します。

他に、古典統計では、自由粒子モデルで、位相空間の超球の表面部の球殻のなかの状態のどれかをランダムにとることが考えられますが、十分に温度が高い：
エネルギーが高いならば、位相空間における球の半径
が大きくなり、体積は大きくなるから取りうる状態数
としてVf/h^fとして、プランク定数の自由度乗で位相空間の体積を割ったものを状態数としても(ごまかしても),いい結果が得られますが、温度が低くなると、
量子数の空間(kx,ky,kz)で考えた時、半径が小さくなりますが
そうなると、取りうる状態数が4個とか5個とか、
球内部にある格子点の数を厳密に数えられるようになってきますが、言い換えると格子点に対応する状態しか
とることができないので、全ての点を平等に扱っている古典統計では都合が悪くなってきます。

お礼

ありがとうございます。
わざわざ数式でというわがまままで聞いていただいて、大変感謝します。量子統計の理解に一歩近づけました。感謝です