量子統計のボルツマン分布の謎？

質問

量子統計の分配関数を
Z = sum_{n} Exp( - beta epsilon_n )
と書くことにします。

epsilon_n　はハミルトニアンのn番目の固有値とし、
beta は1/(k_b T)で、k_bはボルツマン定数、Ｔは温度(ケルビン)です。

原子単位系(h/2π = 電気素量 = 電子の静止質量 = 1)で、試算してみると、betaの値が、T=315.7ケルビンの時、約１０００となってしまいました。

betaが非常に大きいので、epsilon_nが最小の状態（基底状態）以外は、常温および低温では分配関数に効いてこないように思います。

量子統計では、この様な温度領域を扱う場合、基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか？そもそも量子統計はもっと高温を扱う理論なのでしょうか？

以上　よろしくお願いします。

回答No.3

noname#96418 · ベストアンサー

＃２です。

>量子統計はこの温度ではほとんど威力を発揮しないのでしょうか？

中性原子やイオンの基底状態も、細かく見ると励起エネルギーが << 1 eV のいくつかの準位に分かれていることがあります。それらの準位の励起状態を考えるときには、常温でも量子統計の「威力」が顕在化するでしょうね。

お礼

なるほど、振動順位の様なものをそうていされているのでしょうか？納得がいきました。どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#96418

例として原子の励起状態の分布を考えると、基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね。1 eV は温度では 10^4 K くらいに対応します。よって、常温では原子はほとんど励起されないわけで、励起状態は分配関数にほとんど寄与しないわけです。不思議なことは何もありません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね

なるほど、としますと、励起状態は、実際に効いてこないべきであって、beta=1000となったのは、おかしくないという事ですね。それはすなわち、量子統計はこの温度ではほとんど威力を発揮しないのでしょうか？

回答No.1

ojisan7

>>基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか？

「基底状態だけ」というふうに、限定するよりは、「エネルギーの低い状態」というふうに、もう少し幅を持たせた方がよいでしょうね。

確かに、温度が低ければβは大きくなりますから、主に、エネルギー準位の低い部分だけが分配関数に影響します。
温度が高ければβは小さくなりますので、ある程度エネルギー準位の高い状態まで分配関数に影響を与えることができます。

粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

>粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。

エネルギーの低い順位に入ろうとするのは確かです。疑問なのは、常温という、感覚的には高い温度でもあるにもかかわらず、励起状態がほとんど効いてこないのは納得がいかないことです。

量子統計という分野自体は、イメージとして常温でも有効な理論であると思っていました。しかし、そうではないと言う事なのでしょうか？一般的には、もっと高温の系に対して適用されるべきなのだろうか？と思い質問させていただきました。