結合法則
M：空でない集合
φ：M×M→M φ(φ(x,y),z)＝φ(x,φ(y,z)) (∀x,y,z∈M)…☆
が成立しているとする。
X1,…,Xn∈Mが与えられたとき、Xi,X(i+1)に対しφを作用させる。次にn-1個の元X1,…,X(i-1),φ(Xi,X(i+1)),X(i+2),…,Xnを改めてY1,…,Y(n-1)と記し、またYj,Y(j+1)に対しφを作用させる。この操作を繰り返し最後に残った元をZとする。
このとき、X1,…,Xnに対しZを対応させる写像ψn:M^n→Mはφを作用させる場所によらず(つまりiやjなどによらず)well-definedである。
以上のことを証明してみたのですがあっているかどうかわからないので、教えて下さい。
(証明)
nに関する帰納法で示す。
n=2…明らか
n=3…☆により明らか。
ψ(n-1)までがwell-definedであると仮定する。
ψnがwell-definedであることを示すには
ψ(n-1)(φ(X1,X2),X3,…,Xn)＝…＝ψ(n-1)(X1,…,X(n-2),φ(X(n-1),Xn))
(∀Xi∈M,i=1,…n)をいえばよい。
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)とψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)が等しいことをいえばOK。(j=1,…,n-2)
ψ(n-1)のwell-defined性より
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)＝ψ(n-2)(X1,…,X(j-1),φ(φ(Xj,X(j+1)),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)…(1)
ψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)＝ψ(n-2)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,φ(X(j+1),X(j+2))),X(j+3),…,Xn)…(2)
☆より(1)＝(2)がわかるから
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)とψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)が等しい。
したがってψnはwell-definedである。
お礼
ありがとうございます． 整理して纏めてみたいと思います. a<1>+…+a<n+1>を次の2通りで表す(1=<i<j<n+1とする) S1=(a<1>+…+a<i>)+(a<i+1>+…+a<n+1>) S2=(a<1>+…+a<j>)+(a<j+1>+…+a<n+1>) 帰納法の仮定から(…)の中では一般結合法則が成立つので S1=(a<1>+…+a<i>)+[(a<i+1>+…+a<j>)+(a<j+1>+…+a<n+1>)] S2=[(a<1>+…+a<i>)+(a<i+1>+…+a<j>]+(a<j+1>+…+a<n+1>) ここで b<1>=a<1>+…+a<i> b<2>=a<i+1>+…+a<j> b<3>=a<j+1>+…+a<n+1> とおくと結合法則より (b<1>+b<2>)+b<3>=b<1>+(b<2>+b<3>) i.e. S1=S2 ありがとうございます． これで証明が終わったと思いますが S1=S2を示すだけでn+1の場合の一般結合法則を証明したと解釈できるようにするために何か分りやすい説明はないかどうか気になりました.一番最後の2項を計算した結果等しくなると考えればそれでいいようにも思うのですが...