マクローリン展開

質問

y=1/1+x^2のマクローリン展開をx^4の項まで書け、という問題です。
私は次のように解きました。
y=(1+x^2)^-1
y'=-1(1+x^2)(^-2)・2x=-2x(1+x^2)^-2
y"=4x(1+x^2)(^-3)・2x=8x^2(1+x^2)^-3
y"'=-24x^2(1+x^2)(^-4)・2x=-48x^3(1+x^2)^-4
y""=4・48x^3(1+x^2)(^-5)・2x=8・48x^4(1+x^2)^-5
で、y～y""にx=0を代入したら、y以外すべて0になってしまって、答えの1-x^2+x^4と合いません。どこが間違っているのでしょうか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

まず，
y=1/1+x^2
でなくて，きちんと括弧をつけて
y = 1/(1+x^2)
と書かないと(こういうつもりですよね)
どこまが分母なのかわかりません．
テキストで式を書く場合は細心の注意が必要です．

さて，微分計算が違っています．
y' = -2【x】(1+【x】^2)^-2
ですから(強調するために x のところを【x】と書いた)，
もう一回微分するときは【x】が２箇所にあることに注意しないといけません．
最初の【x】に関する微分を忘れているようです．
あるいは，そもそも微分のやり方を誤解しているのかもしれません．

(1)　　y = f(g(x))
の形ですから
(2)　　y' = g'(x) f'(g(x))
(3)　　y'' = g''(x) f'(g(x)) + {g'(x)}^2 f''(g(x))
.....
です．
(3)の右辺第１項を忘れていることになります．
この種の誤解をしていると，２階微分以上の計算は必ず間違える，
ということになります．

なお，無限等比級数の和の公式
(4)　　1 + t + t^2 + t^3 + ・・・ = 1/(1-t)
を右から左に見て，t=-x^2 と思えば
(5)　　1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ・・・
は瞬時に書き下ろせます．

お礼

積の微分になっているのを忘れてたみたいですね。ご指摘ありがとうございました。