関数の最小値

質問

Sn=8×（５/４）ｎ　　－８－２０ｎ　の最小値を与える整数nを求めたいのです。

8かける　4分の5　のｎ乗　ひく　８　ひく　２０ｎ　です。よろしくお願い致します。

回答No.3

himaaaa · ベストアンサー

Sn+1-Sn<0を解けば求まります。もしかして元の問題には「ただしlog(10)2=0.3010とする」のような但し書きがありませんでいたか？

お礼

そうそう。これこれ！近頃,この分野から離れていたので,私の脳が錆付いています。
　今回は,有難うございました。
　ではまた。

回答No.2

NobNOVA

基本的には1の方と答えは一緒ですが、厳密にはS(n)をnで微分してS'(n)=0となるnについてS''(n)の値が正であるか負であるかを考察する必要があります。S''(n)>0となるとき、そのnは極小値を取ります。
その極小値nが最小であるか否かは、nの左側と右側とで、それぞれ単調減少、単調増加しているかを別途調べる必要がありますが、それについてはまあいいでしょう。

以上、蛇足でした。

回答No.1

stomachman

xのy乗をx^yって書きます。すると
S(n) = 8((5/4)^n)-8-20n　（nは整数）
まず、
nの代わりに実数xを持ってきて
S(x) = 8((5/4)^x)-8-20x
にしてみる。(5/4)^xの部分は単調増加の指数関数であり、-20xの部分は単調減少の直線ですから、S(ｘ)は極小を１個だけ持つのが分かります。
S(x)の最小値（極小値）を考えます。つまりxで微分して、これを0と置く。
∂S(x)/∂x = 8((5/4)^x)ln(5/4)-20
より
8((5/4)^x)ln(5/4)-20 = 0
ですから
x=ln(ln(5/4)/2)/ln(4/5)+1
これはもう電卓で計算しちゃうと、
x=10.828
ってわけで、この前後、つまりn=11かn=10っきゃないと分かります。
あとは電卓で、S(10)とS(11)のどっちが小さいか調べれば良い。
S(10)= -133.49
S(11)= -134.87
ってわけで、S(11)の勝ち。（＜勝ち？）